Rango, invertibilidad y cálculo de la matriz inversa con parámetros

**a) (1,5 puntos). Determinar el rango de $A$ según los valores del parámetro $a$.** El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo. Empezamos calculando el determinante de $A$ para ver cuándo es máximo (rango 3). $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & a+1 & 1 \\ 2a & 0 & 1 \\ 2 & 0 & a+1 \end{vmatrix}$$ Para facilitar el cálculo, desarrollamos por la segunda columna, ya que contiene dos ceros: $$|A| = -(a+1) \begin{vmatrix} 2a & 1 \\ 2 & a+1 \end{vmatrix} = -(a+1) [2a(a+1) - 2]$$ $$|A| = -(a+1) [2a^2 + 2a - 2] = -2(a+1)(a^2 + a - 1)$$ 💡 **Tip:** Al desarrollar por una columna, recuerda seguir la regla de signos: $\begin{pmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{pmatrix}$. El elemento $a_{12}$ lleva un signo menos delante.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $a$: $$-2(a+1)(a^2 + a - 1) = 0$$ Esto nos da dos posibilidades: 1. $a + 1 = 0 \implies \mathbf{a = -1}$ 2. $a^2 + a - 1 = 0 \implies a = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2} = \mathbf{\dfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}}$ 💡 **Tip:** Si el determinante de una matriz $3 \times 3$ es distinto de cero, el rango es automáticamente 3.

Analizamos los casos según el valor de $a$: - **Caso 1: $a \neq -1$ y $a \neq \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$** Como $|A| \neq 0$, el rango de la matriz es **3**. - **Caso 2: $a = -1$** La matriz queda: $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ -2 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}$. El determinante es 0. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = 0 - 2 = -2 \neq 0$$ Por tanto, el rango es **2**. - **Caso 3: $a = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$** El determinante es 0. Tomamos un menor de orden 2, por ejemplo, el formado por las dos últimas filas y columnas: $$M = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & a+1 \end{vmatrix} = 0$$ Probamos con otro menor: $M' = \begin{vmatrix} 2a & 1 \\ 2 & a+1 \end{vmatrix} = 2a^2 + 2a - 2$. Como $a$ es raíz de $a^2+a-1=0$, este menor también es 0. Sin embargo, el menor $M'' = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2a & 1 \end{vmatrix} = 2 - 2a$ solo sería 0 si $a=1$. Como $\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} \neq 1$, este menor es distinto de cero. El rango es **2**. ✅ **Resultado (Rango):** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } a \in \mathbb{R} \setminus \{-1, \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}\}, & \text{rango}(A) = 3 \\ \text{Si } a \in \{-1, \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}\}, & \text{rango}(A) = 2 \end{cases}}$$

**b) (1,5 puntos). Decir cuándo la matriz $A$ es invertible. Calcular la inversa para $a=1$.** Una matriz cuadrada es invertible (o regular) si y solo si su determinante es distinto de cero. Basándonos en el apartado anterior, la matriz $A$ tiene inversa siempre que: $$\mathbf{a \neq -1 \quad \text{y} \quad a \neq \dfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}}$$ 💡 **Tip:** Una matriz es invertible si su rango coincide con su orden (en este caso, 3).

Para $a=1$, la matriz es: $$A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante sustituyendo en la fórmula del paso 1: $$|A| = -2(1+1)(1^2+1-1) = -2(2)(1) = -4$$ Ahora hallamos la matriz de adjuntos $Adj(A)$: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{12} = -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = -(4-2) = -2$ - $A_{13} = +\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -4$ - $A_{22} = +\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 4-2 = 2$ - $A_{23} = -\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = -(-4) = 4$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 2$ - $A_{32} = -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{33} = +\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = -4$ $$Adj(A) = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 0 \\ -4 & 2 & 4 \\ 2 & 0 & -4 \end{pmatrix}$$ Transponemos la matriz de adjuntos: $$(Adj(A))^T = \begin{pmatrix} 0 & -4 & 2 \\ -2 & 2 & 0 \\ 0 & 4 & -4 \end{pmatrix}$$ Finalmente, aplicamos $A^{-1} = \frac{1}{|A|} (Adj(A))^T$: $$A^{-1} = \frac{1}{-4} \begin{pmatrix} 0 & -4 & 2 \\ -2 & 2 & 0 \\ 0 & 4 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1/2 \\ 1/2 & -1/2 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1/2 \\ 1/2 & -1/2 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}}$$