Estudio completo e integración de una función exponencial

**a) (2 puntos). Dibujar la gráfica de $f$, estudiando el crecimiento, decrecimiento, puntos de inflexión y asíntotas.** Primero, calculamos la primera derivada $f'(x)$ usando la regla del producto: $$f'(x) = (e^{-x})'(x^2+1) + e^{-x}(x^2+1)' = -e^{-x}(x^2+1) + e^{-x}(2x)$$ Factorizamos $e^{-x}$: $$f'(x) = e^{-x}(-x^2 - 1 + 2x) = -e^{-x}(x^2 - 2x + 1) = -e^{-x}(x-1)^2$$ Para hallar los puntos críticos, resolvemos $f'(x) = 0$: $$-e^{-x}(x-1)^2 = 0 \implies (x-1)^2 = 0 \implies x = 1$$ Estudiamos el signo de $f'(x)$ sabiendo que $e^{-x}$ siempre es positivo: - Para $x \lt 1$, $(x-1)^2 \gt 0$, por lo que $f'(x) \lt 0$. - Para $x \gt 1$, $(x-1)^2 \gt 0$, por lo que $f'(x) \lt 0$. La función es **estrictamente decreciente** en todo su dominio $\mathbb{R}$. En $x=1$ hay un punto de tangente horizontal, pero no es un extremo relativo (máximo o mínimo). 💡 **Tip:** Aunque la derivada se anule en $x=1$, al no haber cambio de signo, la función sigue decreciendo. $$\boxed{\text{Decreciente en } \mathbb{R}}$$

Calculamos la segunda derivada derivando $f'(x) = -e^{-x}(x^2 - 2x + 1)$: $$f''(x) = e^{-x}(x^2 - 2x + 1) - e^{-x}(2x - 2)$$ $$f''(x) = e^{-x}(x^2 - 2x + 1 - 2x + 2) = e^{-x}(x^2 - 4x + 3)$$ Buscamos los puntos de inflexión haciendo $f''(x) = 0$: $$x^2 - 4x + 3 = 0 \implies x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \implies x_1 = 1, \; x_2 = 3$$ Analizamos el signo de $f''(x)$ en los intervalos definidos por las raíces: $$ \begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 1) & 1 & (1, 3) & 3 & (3, +\infty) \\ \hline f''(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \text{Curvatura} & \text{Convexa (\cup)} & \text{P.I.} & \text{Cóncava (\cap)} & \text{P.I.} & \text{Convexa (\cup)} \end{array} $$ Los puntos de inflexión son: - Para $x=1$: $f(1) = e^{-1}(1^2+1) = \frac{2}{e} \approx 0.74$. - Para $x=3$: $f(3) = e^{-3}(3^2+1) = \frac{10}{e^3} \approx 0.50$. ✅ **Resultado (Puntos de Inflexión):** $$\boxed{I_1(1, 2/e), \quad I_2(3, 10/e^3)}$$

**Asíntotas Verticales (AV):** Como $f(x) = e^{-x}(x^2+1)$ es continua en todo $\mathbb{R}$ (producto de una exponencial y un polinomio), **no tiene asíntotas verticales**. **Asíntotas Horizontales (AH):** - Cuando $x \to +\infty$: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2+1}{e^x} = \left[ \frac{\infty}{\infty} \right] \xrightarrow{\text{L'Hôpital}} \lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{e^x} \xrightarrow{\text{L'Hôpital}} \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{e^x} = 0$$ Existe una AH en **$y = 0$** cuando $x \to +\infty$. - Cuando $x \to -\infty$: $$\lim_{x \to -\infty} e^{-x}(x^2+1) = (+\infty)(+\infty) = +\infty$$ No hay AH por la izquierda. **Asíntotas Oblicuas (AO):** Solo buscamos cuando $x \to -\infty$, ya que por la derecha hay AH: $$m = \lim_{x \to -\infty} \frac{e^{-x}(x^2+1)}{x} = \infty$$ No hay AO. ✅ **Resultado (Asíntotas):** $$\boxed{\text{AH: } y=0 \text{ (en } +\infty), \quad \text{AV: No hay}, \quad \text{AO: No hay}}$$

Uniendo el estudio de monotonía, curvatura y asíntotas, obtenemos la gráfica de la función. Sabemos que pasa por el punto de corte con el eje $Y$: $f(0) = e^0(0+1) = 1$.

**b) (1 punto). Calcular $\int_{0}^{1} f(x) dx$** Primero calculamos la integral indefinida $\int e^{-x}(x^2+1) dx$ mediante el método de integración por partes dos veces. **Primera aplicación:** Sea $u = x^2+1 \implies du = 2x dx$ Sea $dv = e^{-x} dx \implies v = -e^{-x}$ $$\int e^{-x}(x^2+1) dx = -(x^2+1)e^{-x} - \int (-e^{-x}) 2x dx = -(x^2+1)e^{-x} + 2\int x e^{-x} dx$$ **Segunda aplicación ($\int x e^{-x} dx$):** Sea $u = x \implies du = dx$ Sea $dv = e^{-x} dx \implies v = -e^{-x}$ $$\int x e^{-x} dx = -xe^{-x} - \int (-e^{-x}) dx = -xe^{-x} - e^{-x}$$ Sustituimos de vuelta: $$\int e^{-x}(x^2+1) dx = -(x^2+1)e^{-x} + 2(-xe^{-x} - e^{-x}) = -e^{-x}(x^2+1 + 2x + 2) = -e^{-x}(x^2 + 2x + 3)$$ 💡 **Tip:** Recuerda la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Al integrar funciones del tipo $P(x)e^{ax}$, el polinomio marca cuántas veces debemos aplicar partes. $$\boxed{F(x) = -e^{-x}(x^2 + 2x + 3) + C}$$

Aplicamos los límites de integración de $0$ a $1$: $$\int_{0}^{1} e^{-x}(x^2+1) dx = \left[ -e^{-x}(x^2+2x+3) \right]_0^1$$ Sustituimos el límite superior ($x=1$): $$F(1) = -e^{-1}(1^2 + 2(1) + 3) = -e^{-1}(6) = -\frac{6}{e}$$ Sustituimos el límite inferior ($x=0$): $$F(0) = -e^{0}(0^2 + 2(0) + 3) = -1(3) = -3$$ Restamos los valores (Barrow): $$\int_{0}^{1} f(x) dx = F(1) - F(0) = -\frac{6}{e} - (-3) = 3 - \frac{6}{e}$$ ✅ **Resultado Final:** $$\boxed{3 - \dfrac{6}{e} \approx 0.7927}$$