Estudio de una función racional y cálculo de área

**a) Halle sus asíntotas, máximos y mínimos. (1 punto)** Primero, analizamos el dominio de $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$. Como el denominador $x^2 + 1$ es siempre positivo para cualquier $x \in \mathbb{R}$, el dominio es $\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$. **Asíntotas Verticales (AV):** No existen asíntotas verticales ya que no hay valores de $x$ que anulen el denominador. **Asíntotas Horizontales (AH):** Calculamos el límite cuando $x \to \pm\infty$: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{x^2 + 1} = 0$$ Al ser el grado del denominador mayor que el del numerador, el límite es 0. Por tanto, existe una asíntota horizontal en **$y = 0$**. **Asíntotas Oblicuas (AO):** Al existir asíntota horizontal en ambos sentidos, **no hay asíntotas oblicuas**. 💡 **Tip:** Recuerda que si el grado del denominador es exactamente una unidad mayor que el del numerador, la asíntota horizontal es $y=0$. Si existe AH, no puede haber AO. ✅ **Resultado (Asíntotas):** $$\boxed{\text{AV: No hay; AH: } y = 0; \text{ AO: No hay}}$$

Para hallar los extremos relativos, calculamos la primera derivada usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{1 \cdot (x^2 + 1) - x \cdot (2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$f'(x) = 0 \implies 1 - x^2 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1, \quad x = -1$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ para determinar el crecimiento y los extremos: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,1) & 1 & (1,+\infty)\\\hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - \end{array}$$ - En $x = -1$, la función pasa de decrecer a crecer: hay un **mínimo relativo**. - En $x = 1$, la función pasa de crecer a decrecer: hay un **máximo relativo**. Calculamos las ordenadas: $f(-1) = \frac{-1}{(-1)^2 + 1} = -\frac{1}{2} \implies \text{Mínimo: } (-1, -0.5)$ $f(1) = \frac{1}{1^2 + 1} = \frac{1}{2} \implies \text{Máximo: } (1, 0.5)$ ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{Máximo en } (1, 1/2) \text{ y Mínimo en } (-1, -1/2)}$$

**b) Represente gráficamente la función. (0.5 puntos)** Para representar la función, utilizamos los datos obtenidos: 1. Puntos de corte: Si $x=0, y=0$. La función pasa por el origen $(0,0)$. 2. Simetría: $f(-x) = \frac{-x}{(-x)^2+1} = -f(x)$. Es una función **impar** (simétrica respecto al origen). 3. Asíntota horizontal $y=0$ (eje $OX$). 4. Máximo en $(1, 0.5)$ y mínimo en $(-1, -0.5)$.

**c) Halle el área delimitada por la función y el eje $OX$, para $-1 \le x \le 1$. (1 punto)** El área viene dada por la integral definida del valor absoluto de la función entre los límites propuestos: $$\text{Área} = \int_{-1}^{1} |f(x)| \, dx$$ Observamos que en el intervalo $[-1, 0]$, la función es negativa, y en $[0, 1]$ es positiva. Además, por simetría impar, el área de ambas regiones será igual: $$\text{Área} = \int_{-1}^{0} -\frac{x}{x^2 + 1} \, dx + \int_{0}^{1} \frac{x}{x^2 + 1} \, dx = 2 \int_{0}^{1} \frac{x}{x^2 + 1} \, dx$$ Resolvemos la integral indefinida (tipo logarítmico): $$\int \frac{x}{x^2 + 1} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + C$$ Aplicamos la regla de Barrow: $$\text{Área} = 2 \left[ \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) \right]_0^1 = \left[ \ln(x^2 + 1) \right]_0^1$$ $$\text{Área} = \ln(1^2 + 1) - \ln(0^2 + 1) = \ln(2) - \ln(1) = \ln(2) - 0 = \ln(2)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la integral $\int \frac{u'(x)}{u(x)} dx = \ln|u(x)|$. Aquí necesitamos un 2 en el numerador para tener la derivada de $x^2+1$. ✅ **Resultado (Área):** $$\boxed{\text{Área} = \ln(2) \approx 0.693 \text{ u}^2}$$