Estudio de función a trozos: continuidad, asíntotas y recta tangente

**a) Determine su dominio de definición, estudie su continuidad y halle las asíntotas. (1 punto)** Analizamos el dominio estudiando cada rama de la función por separado: 1. **Primera rama ($x \lt 2$):** La expresión es $f(x) = \frac{1}{x - 1}$. Como es una función racional, no está definida donde el denominador se anula: $x - 1 = 0 \implies x = 1$. Dado que $x = 1$ está en el intervalo de definición ($1 \lt 2$), el punto $x = 1$ no pertenece al dominio. 2. **Segunda rama ($x \ge 2$):** La expresión es $f(x) = x^2 - 3$. Es una función polinómica, definida para cualquier valor de $x$ en su intervalo. Por lo tanto, el dominio es todo el conjunto de los números reales excepto el punto donde se anula el denominador de la primera rama. ✅ **Resultado (Dominio):** $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{1\}}$$

Estudiamos la continuidad en los puntos conflictivos: * **En $x = 1$:** Como vimos en el dominio, la función no está definida. Existe una discontinuidad inevitable de salto infinito porque $\lim_{x \to 1} \frac{1}{x-1} = \infty$. * **En $x = 2$ (salto entre ramas):** Comprobamos los límites laterales y el valor de la función: - Límite por la izquierda: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{1}{x - 1} = \frac{1}{2 - 1} = 1$. - Límite por la derecha: $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2} (x^2 - 3) = 2^2 - 3 = 1$. - Valor de la función: $f(2) = 2^2 - 3 = 1$. Como $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2) = 1$, la función es **continua en $x = 2$**. 💡 **Tip:** Una función es continua en un punto $a$ si existe el límite cuando $x \to a$, existe $f(a)$ y ambos coinciden. ✅ **Resultado (Continuidad):** $$\boxed{\text{Continua en } \mathbb{R} \setminus \{1\}}$$

Buscamos los tres tipos de asíntotas: 1. **Asíntotas Verticales (AV):** Candidato en $x = 1$ (punto donde se anula el denominador): $$\lim_{x \to 1^-} \frac{1}{x-1} = -\infty, \quad \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x-1} = +\infty$$ Por tanto, **$x = 1$ es una asíntota vertical**. 2. **Asíntotas Horizontales (AH):** - Por la izquierda ($x \to -\infty$): $$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x-1} = 0 \implies \mathbf{y = 0} \text{ es AH por la izquierda.}$$ - Por la derecha ($x \to +\infty$): $$\lim_{x \to +\infty} (x^2 - 3) = +\infty \implies \text{No hay AH por la derecha.}$$ 3. **Asíntotas Oblicuas (AO):** - Por la izquierda no hay (ya hay AH). - Por la derecha ($y = mx + n$): $$m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2-3}{x} = +\infty \implies \text{No hay AO.}$$ ✅ **Resultado (Asíntotas):** $$\boxed{\text{AV: } x = 1, \quad \text{AH: } y = 0 \text{ (cuando } x \to -\infty)}$$

**b) Esboce una gráfica de la función. (0.5 puntos)** Para el esbozo consideramos: - La rama izquierda es una hipérbola con centro desplazado y asíntota vertical en $x=1$. - La rama derecha es una parábola convexa que comienza en el punto $(2, 1)$. - Existe continuidad en el punto de unión $x=2$.

A continuación se muestra la representación gráfica de la función $f(x)$ para visualizar su comportamiento, la asíntota y el punto de unión.

**c) Halle los puntos donde la recta tangente es paralela a la recta $x + 4y = 0$. (1 punto)** Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente. Primero, calculamos la pendiente de la recta dada $x + 4y = 0$ despejando $y$: $$4y = -x \implies y = -\frac{1}{4}x \implies m = -\frac{1}{4}$$ Buscamos los puntos $x$ tales que $f'(x) = -1/4$. Calculamos la derivada de la función por ramas: $$f'(x) = \begin{cases} -\frac{1}{(x-1)^2} & \text{si } x \lt 2 \text{ y } x \neq 1 \\ 2x & \text{si } x \gt 2 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $1/u$ es $-u'/u^2$ y la de $x^n$ es $nx^{n-1}$. Analizamos cada rama: 1. **Rama 1 ($x \lt 2, x \neq 1$):** $$-\frac{1}{(x-1)^2} = -\frac{1}{4} \implies (x-1)^2 = 4 \implies x-1 = \pm 2$$ - $x - 1 = 2 \implies x = 3$. No válida, pues $3 \gt 2$ (no pertenece a esta rama). - $x - 1 = -2 \implies \mathbf{x = -1}$. Válida, pues $-1 \lt 2$. Hallamos la ordenada: $f(-1) = \frac{1}{-1-1} = -\frac{1}{2}$. El punto es **$(-1, -1/2)$**. 2. **Rama 2 ($x \gt 2$):** $$2x = -\frac{1}{4} \implies x = -\frac{1}{8}$$ No válida, pues $-1/8 \lt 2$ (no pertenece a esta rama). ✅ **Resultado (Puntos de tangencia):** $$\boxed{P\left(-1, -\frac{1}{2}\right)}$$