Estudio de la posición relativa y distancia en el espacio

Para resolver los apartados, primero necesitamos obtener los vectores directores y un punto de cada recta. **Recta $s$:** La recta viene dada en forma paramétrica, por lo que su vector director $\vec{v_s}$ y un punto $P_s$ se extraen directamente de los coeficientes: $$\vec{v_s} = (-1, 3, 1), \quad P_s(1, 2, 0)$$ **Recta $r$:** La recta viene dada como intersección de dos planos (forma implícita). Su vector director $\vec{v_r}$ se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales a dichos planos: $$\vec{n_1} = (3, 1, 0), \quad \vec{n_2} = (1, 0, -k)$$ $$\vec{v_r} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -k \end{vmatrix}$$ Desarrollando por Sarrus: $$\vec{v_r} = \mathbf{i}(-k - 0) - \mathbf{j}(-3k - 0) + \mathbf{k}(0 - 1) = (-k, 3k, -1)$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta en implícitas es perpendicular a los vectores normales de los planos que la definen.

**a) Estudie si para algún valor de $k$ las rectas son paralelas. (0.75 puntos)** Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son proporcionales, es decir, $\vec{v_r} = \lambda \vec{v_s}$: $$\frac{-k}{-1} = \frac{3k}{3} = \frac{-1}{1}$$ Analizamos las igualdades: 1. $\frac{-k}{-1} = \frac{3k}{3} \implies k = k$ (Se cumple para cualquier $k$) 2. $\frac{3k}{3} = \frac{-1}{1} \implies k = -1$ Para $k = -1$, los vectores directores son proporcionales. Comprobamos si las rectas son coincidentes verificando si $P_s(1, 2, 0)$ pertenece a $r$: $$\begin{cases} 3(1) + (2) = 5 \neq 1 \\ 1 - (-1)(0) = 1 \neq 2 \end{cases}$$ Como el punto no satisface las ecuaciones de $r$, las rectas no son coincidentes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{k = -1}$$

**b) Estudie si para algún valor de $k$ las rectas son perpendiculares. (0.75 puntos)** Dos rectas son perpendiculares si el producto escalar de sus vectores directores es cero ($\vec{v_r} \cdot \vec{v_s} = 0$): $$\vec{v_r} = (-k, 3k, -1), \quad \vec{v_s} = (-1, 3, 1)$$ Calculamos el producto escalar: $$(-k) \cdot (-1) + (3k) \cdot 3 + (-1) \cdot 1 = 0$$ $$k + 9k - 1 = 0$$ $$10k = 1 \implies k = \frac{1}{10}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la perpendicularidad no implica necesariamente que las rectas se corten; pueden cruzarse perpendicularmente en el espacio. ✅ **Resultado:** $$\boxed{k = 0,1 \text{ (o } k = 1/10)}$$

**c) Halle la distancia del punto $A(1, 1, 1)$ a la recta $s$. (1 punto)** Usaremos la fórmula de la distancia de un punto $A$ a una recta $s$ basada en el producto vectorial: $$d(A, s) = \frac{|\vec{P_sA} \times \vec{v_s}|}{|\vec{v_s}|}$$ 1. Calculamos el vector $\vec{P_sA}$ siendo $P_s(1, 2, 0)$ y $A(1, 1, 1)$: $$\vec{P_sA} = A - P_s = (1-1, 1-2, 1-0) = (0, -1, 1)$$ 2. Calculamos el producto vectorial $\vec{P_sA} \times \vec{v_s}$: $$\vec{P_sA} \times \vec{v_s} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-1-3) - \mathbf{j}(0 - (-1)) + \mathbf{k}(0 - 1) = (-4, -1, -1)$$ 3. Hallamos los módulos: $$|\vec{P_sA} \times \vec{v_s}| = \sqrt{(-4)^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16+1+1} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$ $$|\vec{v_s}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{1+9+1} = \sqrt{11}$$ 4. Calculamos la distancia final: $$d(A, s) = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{11}} = \frac{3\sqrt{22}}{11} \approx 1,279 \text{ u.}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(A, s) = \dfrac{3\sqrt{22}}{11} \text{ unidades}}$$