Ecuación de un plano por sus trazas, posición relativa y corte con una recta

**a) Halle la ecuación del plano $\pi$. (0.5 puntos)** El enunciado nos indica que el plano corta a los ejes de coordenadas en los puntos de la parte positiva. Por las longitudes dadas, estos puntos son: - Punto sobre el eje $OX$: $P_1(2, 0, 0)$ - Punto sobre el eje $OY$: $P_2(0, 3, 0)$ - Punto sobre el eje $OZ$: $P_3(0, 0, 4)$ La forma más directa de hallar la ecuación de un plano dadas sus trazas (puntos de corte con los ejes) es utilizar la **ecuación segmentaria**: $$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$$ donde $a, b$ y $c$ son las distancias al origen. Sustituimos: $$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1$$ Para obtener la ecuación general, calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores ($m.c.m.(2,3,4) = 12$) y multiplicamos toda la ecuación: $$12 \cdot \left(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4}\right) = 12 \cdot 1 \implies 6x + 4y + 3z = 12$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la ecuación general del plano es de la forma $Ax + By + Cz + D = 0$. ✅ **Resultado (Ecuación del plano $\pi$):** $$\boxed{\pi \equiv 6x + 4y + 3z - 12 = 0}$$

**b) Halle la ecuación de la recta $r$ que contiene a los puntos $A(2, 0, 3)$ y $B(0, 6, a)$ y estudie la posición relativa de $\pi$ y $r$ según los valores de $a$. (1.25 puntos)** Primero obtenemos el vector director de la recta $\vec{v_r}$ a partir de los puntos $A$ y $B$: $$\vec{v_r} = \vec{AB} = B - A = (0 - 2, 6 - 0, a - 3) = (-2, 6, a - 3)$$ Utilizamos el punto $A(2, 0, 3)$ para escribir las ecuaciones paramétricas de la recta $r$: $$r \equiv \begin{cases} x = 2 - 2\lambda \\ y = 6\lambda \\ z = 3 + (a - 3)\lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Para construir una recta necesitas un punto y un vector director. El vector se obtiene restando las coordenadas de los dos puntos dados.

Para estudiar la posición relativa, sustituimos las ecuaciones de la recta $r$ en la ecuación del plano $\pi$: $$6(2 - 2\lambda) + 4(6\lambda) + 3(3 + (a - 3)\lambda) - 12 = 0$$ Desarrollamos los paréntesis: $$12 - 12\lambda + 24\lambda + 9 + (3a - 9)\lambda - 12 = 0$$ $$9 + 12\lambda + (3a - 9)\lambda = 0$$ $$(12 + 3a - 9)\lambda = -9 \implies (3a + 3)\lambda = -9$$ Analizamos el coeficiente de $\lambda$: 1. Si $3a + 3 = 0 \implies a = -1$: La ecuación queda $0\lambda = -9$, lo cual es una **contradicción**. No hay puntos comunes. La recta $r$ es **paralela** al plano $\pi$. 2. Si $3a + 3 \neq 0 \implies a \neq -1$: Podemos despejar un único valor de $\lambda$: $\lambda = \frac{-9}{3a + 3}$. La recta $r$ y el plano $\pi$ son **secantes** (se cortan en un punto). 💡 **Tip:** En la posición relativa de recta y plano, si el sistema tiene una solución es secante, si no tiene es paralela, y si tiene infinitas la recta está contenida. Aquí nunca será contenida porque $-9 \neq 0$. ✅ **Resultado (Posición relativa):** $$\boxed{\text{Si } a = -1, r \parallel \pi. \text{ Si } a \neq -1, r \text{ y } \pi \text{ son secantes.}}$$

**c) Para el caso $a = 2$, halle el punto donde se cortan $\pi$ y $r$. (0.75 puntos)** Si $a = 2$, la ecuación obtenida en el apartado anterior para hallar la intersección es: $$(3(2) + 3)\lambda = -9 \implies 9\lambda = -9 \implies \lambda = -1$$ Sustituimos el valor de $\lambda = -1$ en las ecuaciones paramétricas de la recta $r$ con $a = 2$: $$x = 2 - 2(-1) = 2 + 2 = 4$$ $$y = 6(-1) = -6$$ $$z = 3 + (2 - 3)(-1) = 3 + (-1)(-1) = 3 + 1 = 4$$ 💡 **Tip:** El punto de intersección debe satisfacer tanto la ecuación de la recta como la del plano. Puedes comprobarlo sustituyendo $(4, -6, 4)$ en $6x + 4y + 3z - 12 = 0$. Comprobación: $6(4) + 4(-6) + 3(4) - 12 = 24 - 24 + 12 - 12 = 0$. ¡Correcto! ✅ **Resultado (Punto de corte):** $$\boxed{P(4, -6, 4)}$$