Optimización de área: Recinto con semicírculos

**Determine las dimensiones de $x$ e $y$ para que el área encerrada sea máxima.** En primer lugar, identificamos los elementos geométricos del recinto a partir de la figura: - El rectángulo tiene una base $y$ y una altura $x$. - Los dos semicírculos están pegados a los lados de longitud $x$. Por tanto, el diámetro de cada semicírculo es $x$, lo que implica que el radio es $r = \frac{x}{2}$. El enunciado nos dice que disponemos de $200$ m de tela para el perímetro exterior. El perímetro está formado por dos lados rectos de longitud $y$ y dos semicircunferencias que, juntas, forman una circunferencia completa de radio $\frac{x}{2}$. $$P = 2y + 2\pi r = 2y + 2\pi \left(\frac{x}{2}\right) = 2y + \pi x$$ Como el perímetro total es $200$ m, establecemos la **ecuación de restricción**: $$2y + \pi x = 200$$ Despejamos $y$ para poder sustituirla más adelante: $$2y = 200 - \pi x \implies y = 100 - \frac{\pi x}{2}$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización, siempre busca una relación entre las variables (restricción) para expresar la función a optimizar con una sola incógnita.

El área total $A$ del recinto es la suma del área del rectángulo y el área de los dos semicírculos (que forman un círculo completo). $$A = A_{\text{rectángulo}} + A_{\text{círculo}} = x \cdot y + \pi r^2 = x \cdot y + \pi \left(\frac{x}{2}\right)^2$$ $$A = xy + \frac{\pi x^2}{4}$$ Sustituimos la expresión de $y$ obtenida en el paso anterior ($y = 100 - \frac{\pi x}{2}$): $$A(x) = x \left(100 - \frac{\pi x}{2}\right) + \frac{\pi x^2}{4}$$ $$A(x) = 100x - \frac{\pi x^2}{2} + \frac{\pi x^2}{4}$$ Simplificamos la expresión: $$A(x) = 100x - \frac{\pi x^2}{4}$$ El dominio de esta función, dado que $x$ e $y$ deben ser positivos, es $x \in (0, \frac{200}{\pi})$. $$\boxed{A(x) = 100x - \dfrac{\pi x^2}{4}}$$

Para hallar el máximo, calculamos la derivada de la función área respecto a $x$ e igualamos a cero: $$A'(x) = 100 - \frac{\pi}{4}(2x) = 100 - \frac{\pi x}{2}$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$100 - \frac{\pi x}{2} = 0 \implies 100 = \frac{\pi x}{2} \implies 200 = \pi x$$ Por tanto, el valor crítico es: $$x = \frac{200}{\pi} \approx 63,66 \text{ m}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que los extremos de una función derivable se encuentran donde su primera derivada es nula.

Para confirmar que el valor hallado corresponde a un máximo, utilizamos el criterio de la segunda derivada: $$A''(x) = -\frac{\pi}{2}$$ Como $A''(x) \lt 0$ para cualquier valor de $x$, la función es siempre cóncava (hacia abajo), lo que garantiza que en $x = \frac{200}{\pi}$ hay un **máximo relativo y absoluto**. Ahora calculamos el valor de $y$: $$y = 100 - \frac{\pi}{2} \cdot \left(\frac{200}{\pi}\right) = 100 - 100 = 0 \text{ m}$$ **Interpretación:** El área máxima se obtiene cuando $y = 0$, lo que significa que el recinto óptimo es simplemente un círculo de diámetro $x = \frac{200}{\pi}$. Esto concuerda con la propiedad isoperimétrica, donde el círculo es la figura que encierra mayor área para un perímetro dado. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = \dfrac{200}{\pi} \text{ m}, \quad y = 0 \text{ m}}$$