Matrices, Determinantes y Sistemas de Ecuaciones

**a) Halle los valores de $x, y, z$, para los que $A$ no tiene inversa.** Una matriz cuadrada $A$ no tiene inversa si y solo si su determinante es igual a cero: $|A| = 0$. Calculamos el determinante de $A = \begin{pmatrix} x & y & x \\ y & 0 & y \\ 1 & z & z \end{pmatrix}$ aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} x & y & x \\ y & 0 & y \\ 1 & z & z \end{vmatrix} = (x \cdot 0 \cdot z + y \cdot y \cdot 1 + x \cdot y \cdot z) - (1 \cdot 0 \cdot x + z \cdot y \cdot x + z \cdot y \cdot y)$$ $$|A| = (0 + y^2 + xyz) - (0 + xyz + y^2z)$$ Simplificamos la expresión: $$|A| = y^2 + xyz - xyz - y^2z = y^2 - y^2z = y^2(1 - z)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz es regular (tiene inversa) si $|A| \neq 0$ y es singular (no tiene inversa) si $|A| = 0$.

Para que no exista la inversa, igualamos el determinante a cero: $$y^2(1 - z) = 0$$ De esta ecuación obtenemos dos posibles condiciones: 1. $y^2 = 0 \implies \mathbf{y = 0}$ 2. $1 - z = 0 \implies \mathbf{z = 1}$ El valor de $x$ no influye en el resultado del determinante, por lo que puede tomar cualquier valor real. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A \text{ no tiene inversa si } y = 0 \text{ o si } z = 1, \text{ para cualquier } x \in \mathbb{R}}$$

**b) Determine los valores de $a$ para los que el sistema $B \cdot A = C$ tiene solución.** Primero, realizamos el producto de las matrices $B$ y $A$: $$B \cdot A = (a, 2, 3) \cdot \begin{pmatrix} x & y & x \\ y & 0 & y \\ 1 & z & z \end{pmatrix}$$ $$(ax + 2y + 3, \, ay + 3z, \, ax + 2y + 3z) = (4, 0, 2)$$ Igualando término a término, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales en las incógnitas $x, y, z$: $$\begin{cases} ax + 2y + 3 = 4 \\ ay + 3z = 0 \\ ax + 2y + 3z = 2 \end{cases} \implies \begin{cases} ax + 2y = 1 \\ ay + 3z = 0 \\ ax + 2y + 3z = 2 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Al multiplicar una matriz fila $1 \times 3$ por una matriz $3 \times 3$, el resultado es una matriz fila $1 \times 3$.

Para analizar cuándo el sistema tiene solución, calculamos el determinante de la matriz de coeficientes $M$: $$M = \begin{pmatrix} a & 2 & 0 \\ 0 & a & 3 \\ a & 2 & 3 \end{pmatrix}$$ $$|M| = (3a^2 + 6a + 0) - (0 + 6a + 0) = 3a^2$$ Analizamos los casos según el Teorema de Rouché-Frobenius: **Caso 1: $3a^2 \neq 0 \implies a \neq 0$** Si $a \neq 0$, el rango de $M$ es 3, que coincide con el número de incógnitas y con el rango de la matriz ampliada. El sistema es **Compatible Determinado (SCD)**. **Caso 2: $a = 0$** Si $a = 0$, el sistema queda: $$\begin{cases} 2y = 1 \\ 3z = 0 \\ 2y + 3z = 2 \end{cases}$$ De las dos primeras obtenemos $y = 1/2$ y $z = 0$. Sustituyendo en la tercera: $2(1/2) + 3(0) = 1 \neq 2$. Esto es una contradicción, por lo que el sistema es **Incompatible (SI)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El sistema tiene solución para cualquier } a \neq 0}$$

**c) Resuelva el sistema anterior cuando sea posible.** El sistema es posible cuando $a \neq 0$. Tomamos las ecuaciones simplificadas: 1) $ax + 2y = 1$ 2) $ay + 3z = 0$ 3) $ax + 2y + 3z = 2$ Restamos la ecuación (1) a la ecuación (3): $$(ax + 2y + 3z) - (ax + 2y) = 2 - 1 \implies 3z = 1 \implies \mathbf{z = \frac{1}{3}}$$ Sustituimos $z$ en la ecuación (2): $$ay + 3\left(\frac{1}{3}\right) = 0 \implies ay + 1 = 0 \implies ay = -1 \implies \mathbf{y = -\frac{1}{a}}$$ Sustituimos $y$ en la ecuación (1): $$ax + 2\left(-\frac{1}{a}\right) = 1 \implies ax - \frac{2}{a} = 1 \implies ax = 1 + \frac{2}{a} \implies ax = \frac{a+2}{a}$$ $$\mathbf{x = \frac{a+2}{a^2}}$$ 💡 **Tip:** Siempre que sea posible, busca combinaciones lineales de las ecuaciones (como restar una de otra) para despejar variables rápidamente. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = \dfrac{a+2}{a^2}, \quad y = -\dfrac{1}{a}, \quad z = \dfrac{1}{3}}$$