Cálculo de límites mediante la regla de L'Hôpital

**a) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^4 + 1} - 1}{x^4}$ (1.25 puntos)** Primero, evaluamos el límite sustituyendo $x=0$ en la expresión: $$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^4 + 1} - 1}{x^4} = \frac{\sqrt{0^4 + 1} - 1}{0^4} = \frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0}$$ Obtenemos una indeterminación del tipo **$\frac{0}{0}$**. Como las funciones del numerador y el denominador son derivables en un entorno de $x=0$, podemos aplicar la **regla de L'Hôpital**. 💡 **Tip:** La regla de L'Hôpital establece que $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ si el límite original es de la forma $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$.

Derivamos el numerador y el denominador de forma independiente: - Numerador: $\left(\sqrt{x^4 + 1} - 1\right)' = \frac{1}{2\sqrt{x^4+1}} \cdot 4x^3 = \frac{2x^3}{\sqrt{x^4+1}}$ - Denominador: $(x^4)' = 4x^3$ Aplicamos el límite a la razón de las derivadas: $$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{2x^3}{\sqrt{x^4+1}}}{4x^3}$$ Simplificamos la expresión cancelando el término $x^3$ (ya que $x \to 0$ pero $x \neq 0$): $$\lim_{x \to 0} \frac{2x^3}{4x^3 \sqrt{x^4+1}} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{4\sqrt{x^4+1}} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2\sqrt{x^4+1}}$$ Finalmente, evaluamos el límite sustituyendo $x=0$: $$\frac{1}{2\sqrt{0^4+1}} = \frac{1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^4 + 1} - 1}{x^4} = \frac{1}{2}}$$

**b) $\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{e^x - 1} \right)$ (1.25 puntos)** Evaluamos el límite directamente: $$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{0} - \frac{1}{e^0 - 1} \right) = \infty - \infty$$ Estamos ante una indeterminación del tipo **$\infty - \infty$**. Para resolverla, realizamos la resta de fracciones buscando un denominador común para convertirla en una expresión del tipo $\frac{0}{0}$: $$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{e^x - 1} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{(e^x - 1) - x}{x(e^x - 1)}$$ Si evaluamos ahora: $$\frac{e^0 - 1 - 0}{0(e^0 - 1)} = \frac{1 - 1 - 0}{0(1 - 1)} = \frac{0}{0}$$ 💡 **Tip:** Ante una indeterminación $\infty - \infty$, el primer paso suele ser operar algebraicamente (mínimo común múltiplo, racionalización, etc.) para llegar a un cociente.

Aplicamos la **regla de L'Hôpital** derivando numerador y denominador: - Numerador: $(e^x - 1 - x)' = e^x - 1$ - Denominador: $[x(e^x - 1)]' = 1 \cdot (e^x - 1) + x \cdot e^x = e^x - 1 + xe^x$ El límite se transforma en: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{e^x - 1 + xe^x}$$ Evaluamos de nuevo sustituyendo $x=0$: $$\frac{e^0 - 1}{e^0 - 1 + 0 \cdot e^0} = \frac{1 - 1}{1 - 1 + 0} = \frac{0}{0}$$ Como persiste la indeterminación $\frac{0}{0}$, aplicamos la regla de L'Hôpital por segunda vez.

Derivamos de nuevo: - Numerador: $(e^x - 1)' = e^x$ - Denominador: $(e^x - 1 + xe^x)' = e^x + (1 \cdot e^x + x \cdot e^x) = 2e^x + xe^x$ Calculamos el límite de la nueva expresión: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2e^x + xe^x}$$ Evaluamos sustituyendo $x=0$: $$\frac{e^0}{2e^0 + 0 \cdot e^0} = \frac{1}{2(1) + 0} = \frac{1}{2}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{e^x - 1} \right) = \frac{1}{2}}$$