Estudio de función racional: extremos, curvatura y cálculo de área

**a) Halle los máximos, mínimos y puntos de inflexión. (1 punto)** Para hallar los extremos relativos, primero calculamos la primera derivada $f'(x)$ de la función $f(x) = 2 - \dfrac{x}{x^2 + 1}$ utilizando la regla del cociente: $$f'(x) = 0 - \frac{1 \cdot (x^2 + 1) - x \cdot (2x)}{(x^2 + 1)^2} = - \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = - \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$$ Simplificando el signo negativo del numerador: $$f'(x) = \frac{x^2 - 1}{(x^2 + 1)^2}$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$f'(x) = 0 \implies x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de una constante es 0 y para el cociente $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos $x = -1$ y $x = 1$. Notamos que el denominador $(x^2+1)^2$ siempre es positivo, por lo que el signo depende solo del numerador $x^2-1$. $$ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, -1) & -1 & (-1, 1) & 1 & (1, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array} $$ Calculamos las ordenadas de estos puntos: - Para $x = -1$: $f(-1) = 2 - \frac{-1}{(-1)^2 + 1} = 2 + \frac{1}{2} = 2.5$ - Para $x = 1$: $f(1) = 2 - \frac{1}{1^2 + 1} = 2 - \frac{1}{2} = 1.5$ ✅ **Extremos relativos:** $$\boxed{\text{Máximo en } (-1, 2.5) \quad \text{y Mínimo en } (1, 1.5)}$$

Para hallar los puntos de inflexión, derivamos $f'(x) = \dfrac{x^2 - 1}{(x^2 + 1)^2}$: $$f''(x) = \frac{2x(x^2 + 1)^2 - (x^2 - 1) \cdot 2(x^2 + 1) \cdot 2x}{(x^2 + 1)^4}$$ Podemos simplificar un factor $(x^2 + 1)$ en el numerador y denominador: $$f''(x) = \frac{2x(x^2 + 1) - 4x(x^2 - 1)}{(x^2 + 1)^3} = \frac{2x^3 + 2x - 4x^3 + 4x}{(x^2 + 1)^3} = \frac{-2x^3 + 6x}{(x^2 + 1)^3}$$ Factorizando el numerador: $$f''(x) = \frac{-2x(x^2 - 3)}{(x^2 + 1)^3}$$

Igualamos la segunda derivada a cero: $$f''(x) = 0 \implies -2x(x^2 - 3) = 0$$ Obtenemos tres posibles puntos de inflexión: $x = 0$, $x = \sqrt{3}$ y $x = -\sqrt{3}$. Estudiamos el cambio de signo de $f''(x)$: $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, -\sqrt{3}) & -\sqrt{3} & (-\sqrt{3}, 0) & 0 & (0, \sqrt{3}) & \sqrt{3} & (\sqrt{3}, +\infty) \\ \hline f''(x) & + & 0 & - & 0 & + & 0 & - \\ \end{array}$$ Como hay cambio de signo en los tres valores, todos son puntos de inflexión. Calculamos sus ordenadas: - $f(0) = 2 - 0 = 2$ - $f(\sqrt{3}) = 2 - \frac{\sqrt{3}}{3+1} = 2 - \frac{\sqrt{3}}{4} \approx 1.567$ - $f(-\sqrt{3}) = 2 - \frac{-\sqrt{3}}{3+1} = 2 + \frac{\sqrt{3}}{4} \approx 2.433$ ✅ **Puntos de inflexión:** $$\boxed{(0, 2), \quad (\sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}/4) \quad \text{y} \quad (-\sqrt{3}, 2 + \sqrt{3}/4)}$$

**b) Para $x \in [0, 5]$, esboce la gráfica de la función y calcule el área comprendida entre ella y el eje $x$. (1.5 puntos)** Utilizamos la información obtenida: - En $x=0$, $f(0)=2$ (Punto de Inflexión). - En $x=1$, $f(1)=1.5$ (Mínimo relativo). - En $x=\sqrt{3} \approx 1.73$, $f(\sqrt{3}) \approx 1.57$ (Punto de Inflexión). - En $x=5$, $f(5) = 2 - \frac{5}{26} \approx 1.81$. La función no corta al eje $x$ en este intervalo, ya que $2 - \frac{x}{x^2+1} = 0 \implies 2x^2 - x + 2 = 0$, que no tiene soluciones reales (discriminante $\Delta = 1 - 16 = -15 \lt 0$). Por tanto, $f(x) \gt 0$ en todo el intervalo.

Como $f(x) \gt 0$ en $[0, 5]$, el área $A$ es la integral definida: $$A = \int_{0}^{5} \left( 2 - \frac{x}{x^2 + 1} \right) dx$$ Separamos la integral y ajustamos la segunda para que sea de tipo logarítmico (multiplicando y dividiendo por 2): $$A = \int_{0}^{5} 2 \, dx - \frac{1}{2} \int_{0}^{5} \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx$$ Aplicamos la Regla de Barrow: $$A = \left[ 2x - \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) \right]_{0}^{5}$$ $$A = \left( 2(5) - \frac{1}{2} \ln(5^2 + 1) \right) - \left( 2(0) - \frac{1}{2} \ln(0^2 + 1) \right)$$ $$A = 10 - \frac{1}{2} \ln(26) - (0 - 0) = 10 - \frac{\ln(26)}{2}$$ Utilizando una aproximación decimal: $A \approx 10 - 1.629 = 8.371 \text{ u}^2$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int \frac{u'(x)}{u(x)} dx = \ln|u(x)| + C$. ✅ **Resultado del área:** $$\boxed{A = 10 - \frac{\ln(26)}{2} \approx 8.371 \text{ u}^2}$$