Área entre curvas y optimización de un rectángulo

**a) Represente gráficamente la chapa y calcule su área. (1.25 puntos)** Primero, buscamos los puntos de intersección entre la parábola $y = -x^2 + 4$ y la recta $y = 1$ igualando ambas expresiones: $$-x^2 + 4 = 1 \implies x^2 = 3 \implies x = \pm \sqrt{3}$$ Los puntos de corte son $(-\sqrt{3}, 1)$ y $(\sqrt{3}, 1)$. La parábola tiene su vértice en $(0, 4)$ y se abre hacia abajo. La región de la chapa queda definida entre estos dos valores de $x$, limitada superiormente por la parábola e inferiormente por la recta. 💡 **Tip:** Para representar una parábola $y = ax^2 + bx + c$, localiza el vértice ($x_v = -b/2a$) y los puntos de corte con los ejes.

El área $A$ de la región viene dada por la integral definida de la diferencia de las funciones en el intervalo $[-\sqrt{3}, \sqrt{3}]$: $$Area = \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} [(-x^2 + 4) - 1] \, dx = \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (3 - x^2) \, dx$$ Como la función es par (simétrica respecto al eje $Y$), podemos simplificar el cálculo: $$Area = 2 \int_{0}^{\sqrt{3}} (3 - x^2) \, dx$$ Aplicamos la regla de Barrow: $$Area = 2 \left[ 3x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{\sqrt{3}} = 2 \left( \left( 3\sqrt{3} - \frac{(\sqrt{3})^3}{3} \right) - 0 \right)$$ Como $(\sqrt{3})^3 = 3\sqrt{3}$: $$Area = 2 \left( 3\sqrt{3} - \frac{3\sqrt{3}}{3} \right) = 2(3\sqrt{3} - \sqrt{3}) = 2(2\sqrt{3}) = 4\sqrt{3} \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado (área):** $$\boxed{Area = 4\sqrt{3} \approx 6.93 \text{ u}^2}$$

**b) Determine las dimensiones del rectángulo de área máxima que se puede obtener a partir de dicha chapa con la condición de que uno de sus lados esté en la recta $y = 1$. (1.25 puntos)** Sea un rectángulo inscrito con base sobre la recta $y = 1$. Si llamamos $x$ a la distancia horizontal desde el eje $Y$ hasta el lado vertical derecho del rectángulo, sus vértices superiores estarán en $(\pm x, -x^2 + 4)$ y los inferiores en $(\pm x, 1)$. - La **base** del rectángulo es: $b = x - (-x) = 2x$ - La **altura** del rectángulo es la diferencia de ordenadas: $h = (-x^2 + 4) - 1 = 3 - x^2$ La función área $A(x)$ a maximizar es: $$A(x) = \text{base} \cdot \text{altura} = (2x)(3 - x^2) = 6x - 2x^3$$ El dominio de la variable $x$ es $0 \lt x \lt \sqrt{3}$ para que el rectángulo esté dentro de la chapa. 💡 **Tip:** En problemas de optimización, siempre define la función objetivo en términos de una sola variable y establece su dominio físico.

Para hallar el máximo, derivamos $A(x)$ e igualamos a cero: $$A'(x) = 6 - 6x^2$$ $$6 - 6x^2 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1 \text{ (ya que } x \gt 0)$$ Comprobamos que es un máximo usando la segunda derivada: $$A''(x) = -12x \implies A''(1) = -12(1) = -12 \lt 0$$ Como la segunda derivada es negativa, en $x = 1$ hay un **máximo relativo**. Estudio del signo de $A'(x)$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0,1) & 1 & (1, \sqrt{3})\\ \hline A'(x) & + & 0 & - \end{array}$$ 💡 **Tip:** Si $f''(a) \lt 0$, la función presenta un máximo relativo en $x=a$.

Una vez hallado el valor de $x = 1$, calculamos las dimensiones del rectángulo: - **Base:** $b = 2x = 2(1) = 2$ unidades. - **Altura:** $h = 3 - x^2 = 3 - (1)^2 = 2$ unidades. El área máxima sería $A(1) = 2 \cdot 2 = 4 \text{ u}^2$. ✅ **Resultado (dimensiones):** $$\boxed{\text{Base} = 2, \quad \text{Altura} = 2}$$