Posición relativa de rectas, plano paralelo y equidistancia

**a) Estudie si las rectas $r$ y $s$ se cortan y, si se cortan, halle el punto de intersección. (0.75 puntos)** Primero, extraemos un punto y un vector director de cada recta. Para la recta $r$: La ecuación es $x - 1 = 1 - y = z - \frac{1}{2}$. Debemos escribirla en forma continua estándar $\frac{x-x_0}{v_x} = \frac{y-y_0}{v_y} = \frac{z-z_0}{v_z}$: $$r: \frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z-1/2}{1}$$ De aquí obtenemos: - Punto $P_r(1, 1, 1/2)$ - Vector director $\vec{v}_r = (1, -1, 1)$ Para la recta $s$: Pasa por $A(1, 0, 1)$ y $B(1, 2, 0)$. - Punto $P_s = A(1, 0, 1)$ - Vector director $\vec{v}_s = \vec{AB} = (1-1, 2-0, 0-1) = (0, 2, -1)$ 💡 **Tip:** Ten cuidado con el término $1-y$. Para que el vector sea correcto, la variable $y$ debe tener coeficiente $1$, por lo que $1-y = -(y-1)$, lo que equivale a tener un $-1$ en el denominador.

Para estudiar la posición relativa, analizamos la dependencia lineal de los vectores $\vec{v}_r$, $\vec{v}_s$ y el vector que une un punto de cada recta $\vec{P_r A} = (1-1, 0-1, 1-1/2) = (0, -1, 1/2)$. Calculamos el determinante de la matriz formada por los tres vectores: $$\text{det}(\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_r A}) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 1/2 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la primera fila (ya que tiene dos ceros): $$\text{det} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1/2 \end{vmatrix} = 1 \cdot (2 \cdot 0.5 - (-1)(-1)) = 1 \cdot (1 - 1) = 0$$ Como el determinante es **0**, los tres vectores son coplanarios. Al no ser $\vec{v}_r$ y $\vec{v}_s$ proporcionales (ya que $\frac{1}{0} \neq \frac{-1}{2}$), las rectas **se cortan en un punto**. 💡 **Tip:** Si el determinante de $(\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_1P_2})$ es cero, las rectas están en el mismo plano (son paralelas o se cortan). Si es distinto de cero, se cruzan.

Para hallar el punto de intersección $P$, igualamos las ecuaciones paramétricas de ambas rectas. Recta $r$: $$\begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 1 - \lambda \\ z = 1/2 + \lambda \end{cases}$$ Recta $s$ (usando el punto $A$ y $\vec{v}_s$): $$\begin{cases} x = 1 \\ y = 2\mu \\ z = 1 - \mu \end{cases}$$ Igualamos las componentes en $x$: $1 + \lambda = 1 \implies \lambda = 0$. Sustituimos $\lambda = 0$ en las ecuaciones de $r$ para hallar el punto: $$x = 1+0 = 1, \quad y = 1-0 = 1, \quad z = 1/2+0 = 1/2$$ Comprobamos en $s$: Para $x=1$, $y=1$ (daría $\mu=1/2$) y $z=1-1/2 = 1/2$. Es coherente. ✅ **Resultado (Punto de intersección):** $$\boxed{P(1, 1, 1/2)}$$

**b) Halle la ecuación del plano que contiene a $r$ y es paralelo a $s$. (0.75 puntos)** El plano $\pi$ que buscamos tiene como vectores directores $\vec{v}_r$ y $\vec{v}_s$ (por ser paralelo a $s$) y pasa por el punto $P_r$ de la recta $r$. Calculamos el vector normal $\vec{n} = \vec{v}_r \times \vec{v}_s$: $$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1-2) - \mathbf{j}(-1-0) + \mathbf{k}(2-0) = -\mathbf{i} + \mathbf{j} + 2\mathbf{k}$$ El vector normal es $\vec{n} = (-1, 1, 2)$. La ecuación del plano será de la forma $-x + y + 2z + D = 0$. Sustituimos el punto $P_r(1, 1, 1/2)$: $$-(1) + 1 + 2(1/2) + D = 0 \implies -1 + 1 + 1 + D = 0 \implies D = -1$$ Por tanto, la ecuación es $-x + y + 2z - 1 = 0$, que podemos escribir multiplicando por $-1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x - y - 2z + 1 = 0}$$

**c) Halle el punto de $r$ que equidista de $A$ y $B$. (1 punto)** Sea $X$ un punto genérico de la recta $r$. Por estar en $r$, sus coordenadas son $(1+\lambda, 1-\lambda, 1/2+\lambda)$. Queremos que $d(X, A) = d(X, B)$, lo que equivale a $d(X, A)^2 = d(X, B)^2$. Datos: $A(1, 0, 1)$ y $B(1, 2, 0)$. $$d(X, A)^2 = (1+\lambda - 1)^2 + (1-\lambda - 0)^2 + (1/2+\lambda - 1)^2 = \lambda^2 + (1-\lambda)^2 + (\lambda - 1/2)^2$$ $$d(X, B)^2 = (1+\lambda - 1)^2 + (1-\lambda - 2)^2 + (1/2+\lambda - 0)^2 = \lambda^2 + (-1-\lambda)^2 + (\lambda + 1/2)^2$$ Igualamos ambas expresiones: $$\lambda^2 + (1-\lambda)^2 + (\lambda - 1/2)^2 = \lambda^2 + (1+\lambda)^2 + (\lambda + 1/2)^2$$ Desarrollamos los cuadrados: $$\lambda^2 + 1 - 2\lambda + \lambda^2 + \lambda^2 - \lambda + 1/4 = \lambda^2 + 1 + 2\lambda + \lambda^2 + \lambda^2 + \lambda + 1/4$$ Simplificamos términos comunes ($3\lambda^2$, $1$ y $1/4$): $$-2\lambda - \lambda = 2\lambda + \lambda \implies -3\lambda = 3\lambda \implies 6\lambda = 0 \implies \lambda = 0$$ Sustituyendo $\lambda = 0$ en el punto genérico de $r$: $$X(1+0, 1-0, 1/2+0) = (1, 1, 1/2)$$ 💡 **Tip:** El punto de una recta que equidista de otros dos es la intersección de dicha recta con el plano mediador del segmento formado por esos dos puntos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{(1, 1, 1/2)}$$