Potencias de matrices y ecuaciones matriciales

**a) Exprese $A^4$ como combinación lineal de $I$ y $A$. (1 punto)** Partimos de la relación dada en el enunciado: $A^2 = 6A - 9I$. Para hallar $A^4$, primero calcularemos $A^3$ multiplicando ambos miembros por $A$: $$A^3 = A \cdot A^2 = A \cdot (6A - 9I) = 6A^2 - 9A$$ Ahora, sustituimos de nuevo la expresión de $A^2$ para que todo quede en función de $A$ e $I$: $$A^3 = 6(6A - 9I) - 9A = 36A - 54I - 9A$$ $$A^3 = 27A - 54I$$ 💡 **Tip:** En este tipo de ejercicios, el objetivo es reducir el exponente de la matriz utilizando la ecuación característica proporcionada hasta llegar a una expresión de grado 1 (combinación lineal de $A$ e $I$).

Una vez obtenida $A^3$, procedemos de la misma forma para obtener $A^4$: $$A^4 = A \cdot A^3 = A \cdot (27A - 54I) = 27A^2 - 54A$$ Sustituimos nuevamente $A^2 = 6A - 9I$: $$A^4 = 27(6A - 9I) - 54A = 162A - 243I - 54A$$ $$A^4 = 108A - 243I$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^4 = 108A - 243I}$$

**b) Estudie si la matriz $B = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ -2 & 6 & 1 \\ 2 & -3 & 2 \end{pmatrix}$ verifica la ecuación $B^2 = 6B - 9I$. Determine si $B$ tiene inversa y, si la tiene, calcúlela. (1.5 puntos)** Primero calculamos $B^2$ mediante el producto de matrices: $$B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ -2 & 6 & 1 \\ 2 & -3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ -2 & 6 & 1 \\ 2 & -3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-6+2 & 3+18-3 & 1+3+2 \\ -2-12+2 & -6+36-3 & -2+6+2 \\ 2+6+4 & 6-18-6 & 2-3+4 \end{pmatrix}$$ $$B^2 = \begin{pmatrix} -3 & 18 & 6 \\ -12 & 27 & 6 \\ 12 & -18 & 3 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos el término de la derecha de la ecuación, $6B - 9I$: $$6B - 9I = 6 \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ -2 & 6 & 1 \\ 2 & -3 & 2 \end{pmatrix} - 9 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 18 & 6 \\ -12 & 36 & 6 \\ 12 & -18 & 12 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}$$ $$6B - 9I = \begin{pmatrix} -3 & 18 & 6 \\ -12 & 27 & 6 \\ 12 & -18 & 3 \end{pmatrix}$$ Comparando ambos resultados, vemos que coinciden. ✅ **Conclusión:** $$\boxed{\text{La matriz } B \text{ sí verifica la ecuación } B^2 = 6B - 9I}$$

Para determinar si $B$ tiene inversa, podemos utilizar la propia ecuación matricial que acabamos de verificar. Si una matriz cumple una ecuación de este tipo, podemos intentar despejar la identidad $I$: $$B^2 - 6B = -9I$$ $$6B - B^2 = 9I$$ Factorizamos $B$ por la izquierda: $$B(6I - B) = 9I$$ Dividimos por 9: $$B \left[ \frac{1}{9}(6I - B) \right] = I$$ Por la definición de matriz inversa ($B \cdot B^{-1} = I$), si tal matriz existe y es única, entonces $B$ es invertible y su inversa es: $$B^{-1} = \frac{1}{9}(6I - B)$$ 💡 **Tip:** Si una matriz $B$ satisface un polinomio $P(B)=0$ con término independiente distinto de cero, la matriz siempre es invertible.

Calculamos $B^{-1}$ operando con la expresión obtenida: $$B^{-1} = \frac{1}{9} \left( \begin{pmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ -2 & 6 & 1 \\ 2 & -3 & 2 \end{pmatrix} \right) = \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 5 & -3 & -1 \\ 2 & 0 & -1 \\ -2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$$ Expresando el resultado final: ✅ **Resultado:** $$\boxed{B^{-1} = \begin{pmatrix} 5/9 & -1/3 & -1/9 \\ 2/9 & 0 & -1/9 \\ -2/9 & 1/3 & 4/9 \end{pmatrix}}$$