Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con parámetro

**a) Discuta el sistema según los valores de $a$. (1.5 puntos)** Para discutir el sistema, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Capelli**. Primero, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 2 & a & 6 \\ a & 2 & 4 \\ a & 2 & 6 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 2 & a & 6 & 0 \\ a & 2 & 4 & 2 \\ a & 2 & 6 & a-2 \end{pmatrix}$$ Calculamos el determinante de $A$ usando la regla de Sarrus o aplicando propiedades. Restando la segunda fila a la tercera ($F_3 - F_2$) facilitamos el cálculo: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & a & 6 \\ a & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix}$$ Desarrollando por la tercera fila: $$|A| = 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & a \\ a & 2 \end{vmatrix} = 2(4 - a^2)$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$2(4 - a^2) = 0 \implies 4 - a^2 = 0 \implies a^2 = 4 \implies \mathbf{a = 2, \quad a = -2}$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Capelli nos dice que si $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = n$ (nº incógnitas), el sistema es compatible determinado.

Si $a \neq 2$ y $a \neq -2$, entonces el determinante de $A$ es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Esto implica que el rango de la matriz $A$ es máximo: $$\text{rg}(A) = 3$$ Como el rango de la matriz ampliada $A^*$ no puede ser mayor que 3 (número de filas) ni menor que el de $A$, entonces: $$\text{rg}(A^*) = 3$$ Al coincidir los rangos con el número de incógnitas ($n=3$): ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a \neq 2 \text{ y } a \neq -2, \text{ el sistema es Compatible Determinado (SCD).}}$$

Sustituimos $a = 2$ en la matriz ampliada: $$A^* = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 4 & 2 \\ 2 & 2 & 6 & 0 \end{pmatrix}$$ Observamos que la primera y la tercera fila son idénticas ($F_1 = F_3$). Por tanto, el rango de $A$ y de $A^*$ será el mismo y menor que 3. Buscamos un menor de orden 2 no nulo en $A$: $$\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 2 & 6 \end{vmatrix} = 12 - 8 = 4 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Como $F_1 = F_3$ en la matriz ampliada, cualquier determinante de orden 3 que incluya estas filas será 0. Por tanto, $\text{rg}(A^*) = 2$. Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 \lt 3$ (número de incógnitas): ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = 2, \text{ el sistema es Compatible Indeterminado (SCI).}}$$

Sustituimos $a = -2$ en la matriz ampliada: $$A^* = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 6 & 0 \\ -2 & 2 & 4 & 2 \\ -2 & 2 & 6 & -4 \end{pmatrix}$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 2 & 6 \end{vmatrix} = 12 - 8 = 4 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Ahora estudiamos el rango de $A^*$ analizando un menor de orden 3 que use la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 2 & 6 & 0 \\ -2 & 4 & 2 \\ -2 & 6 & -4 \end{vmatrix} = 2(-16-12) - 6(8+4) + 0 = 2(-28) - 6(12) = -56 - 72 = -128 \neq 0$$ Por tanto, $\text{rg}(A^*) = 3$. Como $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$ ($2 \neq 3$): ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = -2, \text{ el sistema es Incompatible (SI).}}$$

**b) Resuelva el sistema para el caso $a = 1$. (1 punto)** Si $a=1$, el sistema es Compatible Determinado. El sistema queda: $$\begin{cases} 2x + y + 6z = 0 \quad (1) \\ x + 2y + 4z = 2 \quad (2) \\ x + 2y + 6z = -1 \quad (3) \end{cases}$$ Restamos la ecuación (2) a la (3) para despejar $z$ directamente: $$(x + 2y + 6z) - (x + 2y + 4z) = -1 - 2$$ $$2z = -3 \implies \mathbf{z = -\frac{3}{2}}$$ Sustituimos $z = -3/2$ en las ecuaciones (1) y (2): $$(1) \rightarrow 2x + y + 6\left(-\frac{3}{2}\right) = 0 \implies 2x + y - 9 = 0 \implies 2x + y = 9$$ $$(2) \rightarrow x + 2y + 4\left(-\frac{3}{2}\right) = 2 \implies x + 2y - 6 = 2 \implies x + 2y = 8$$ Resolvemos el sistema de dos ecuaciones despejando $y$ de la primera: $y = 9 - 2x$. Sustituimos en la segunda: $$x + 2(9 - 2x) = 8 \implies x + 18 - 4x = 8 \implies -3x = -10 \implies \mathbf{x = \frac{10}{3}}$$ Calculamos $y$: $$y = 9 - 2\left(\frac{10}{3}\right) = 9 - \frac{20}{3} = \frac{27 - 20}{3} = \mathbf{\frac{7}{3}}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = \frac{10}{3}, \quad y = \frac{7}{3}, \quad z = -\frac{3}{2}}$$