Ecuación del plano y punto simétrico

**(a) [1 punto] Calcula la ecuación del plano $\pi$ que contiene a los puntos $B, C$ y $D$.** Para definir un plano necesitamos un punto y dos vectores directores no paralelos. Utilizaremos el punto $B(-1, 1, 2)$ y los vectores $\vec{BC}$ y $\vec{BD}$: $$\vec{BC} = C - B = (2 - (-1), 2 - 1, 1 - 2) = (3, 1, -1)$$ $$\vec{BD} = D - B = (3 - (-1), 1 - 1, 0 - 2) = (4, 0, -2)$$ 💡 **Tip:** El vector que une dos puntos $P$ y $Q$ se calcula siempre como extremo menos origen: $\vec{PQ} = Q - P$.

El vector normal $\vec{n}$ al plano $\pi$ se obtiene mediante el producto vectorial de sus vectores directores: $$\vec{n} = \vec{BC} \times \vec{BD} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 1 & -1 \\ 4 & 0 & -2 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante por Sarrus: $$\vec{n} = \vec{i}(1)(-2) + \vec{j}(-1)(4) + \vec{k}(3)(0) - [\vec{k}(1)(4) + \vec{i}(-1)(0) + \vec{j}(3)(-2)]$$ $$\vec{n} = -2\vec{i} - 4\vec{j} + 0\vec{k} - [4\vec{k} + 0\vec{i} - 6\vec{j}]$$ $$\vec{n} = -2\vec{i} + 2\vec{j} - 4\vec{k} \implies \vec{n} = (-2, 2, -4)$$ Para simplificar los cálculos, podemos usar un vector proporcional más sencillo: $$\vec{n}_{\pi} = (1, -1, 2)$$ 💡 **Tip:** Cualquier vector proporcional al vector normal sirve para definir la orientación del plano.

La ecuación general de un plano es $Ax + By + Cz + D = 0$, donde $(A, B, C)$ son las componentes del vector normal $\vec{n}_{\pi} = (1, -1, 2)$. Sustituimos el vector normal: $$1x - 1y + 2z + D = 0$$ Para hallar $D$, imponemos que el plano pase por el punto $D(3, 1, 0)$: $$3 - 1 + 2(0) + D = 0 \implies 2 + D = 0 \implies D = -2$$ La ecuación del plano $\pi$ es: $$\boxed{x - y + 2z - 2 = 0}$$

**(b) [1’5 puntos] Halla el punto simétrico de $A$ respecto del plano $\pi$.** Para hallar el simétrico $A'$ del punto $A(2, 0, 1)$ respecto a $\pi$, seguimos estos pasos: 1. Construimos la recta $r$ perpendicular a $\pi$ que pasa por $A$. 2. Hallamos el punto de intersección $M$ de la recta $r$ con el plano $\pi$ (pie de la perpendicular). 3. El punto $M$ será el punto medio del segmento $AA'$. El vector director de la recta $r$ será el vector normal del plano, $\vec{v}_r = \vec{n}_{\pi} = (1, -1, 2)$. La ecuación paramétrica de $r$ es: $$r: \begin{cases} x = 2 + \lambda \\ y = -\lambda \\ z = 1 + 2\lambda \end{cases}$$

Sustituimos las coordenadas de la recta $r$ en la ecuación del plano $\pi$: $x - y + 2z - 2 = 0$. $$(2 + \lambda) - (-\lambda) + 2(1 + 2\lambda) - 2 = 0$$ $$2 + \lambda + \lambda + 2 + 4\lambda - 2 = 0$$ $$6\lambda + 2 = 0 \implies 6\lambda = -2 \implies \lambda = -\frac{1}{3}$$ Calculamos las coordenadas del punto $M$ sustituyendo $\lambda$ en la recta: $$x_M = 2 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$$ $$y_M = -\left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3}$$ $$z_M = 1 + 2\left(-\frac{1}{3}\right) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$$ El punto de intersección es $M\left(\frac{5}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right)$.

Como $M$ es el punto medio entre $A(2, 0, 1)$ y su simétrico $A'(x', y', z')$, se cumple: $$M = \frac{A + A'}{2} \implies A' = 2M - A$$ Calculamos cada componente: $$x' = 2\left(\frac{5}{3}\right) - 2 = \frac{10}{3} - \frac{6}{3} = \frac{4}{3}$$ $$y' = 2\left(\frac{1}{3}\right) - 0 = \frac{2}{3}$$ $$z' = 2\left(\frac{1}{3}\right) - 1 = \frac{2}{3} - \frac{3}{3} = -\frac{1}{3}$$ 💡 **Tip:** No es necesario memorizar fórmulas de simetría si recuerdas que el punto de intersección es el promedio de los otros dos. El punto simétrico es: $$\boxed{A'\left(\frac{4}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{1}{3}\right)}$$