Rango de una matriz con parámetros y cálculo de la inversa

**(a) [1’25 puntos] Estudia el rango de $A$ en función de los valores del parámetro $k$.** El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo. Para una matriz cuadrada de orden 3, empezamos calculando su determinante para ver cuándo es máximo (rango 3). Calculamos $|A|$ usando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 3 & k \\ k & 1 & 3 \\ 1 & 7 & k \end{vmatrix} = (1 \cdot 1 \cdot k) + (3 \cdot 3 \cdot 1) + (k \cdot k \cdot 7) - (1 \cdot 1 \cdot k) - (7 \cdot 3 \cdot 1) - (k \cdot k \cdot 3)$$ Operamos: $$|A| = k + 9 + 7k^2 - k - 21 - 3k^2 = 4k^2 - 12$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el determinante de una matriz $n \times n$ es distinto de cero, su rango es $n$. Si es cero, el rango será menor que $n$.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores de $k$ que reducen el rango de la matriz: $$4k^2 - 12 = 0 \implies 4k^2 = 12 \implies k^2 = 3 \implies k = \pm \sqrt{3}$$ Estos valores dividen el estudio en dos casos principales: cuando el determinante es nulo y cuando no lo es.

**Caso 1: $k \neq \sqrt{3}$ y $k \neq -\sqrt{3}$** Si $k$ es distinto de estos valores, el determinante $|A| \neq 0$. Por tanto, la matriz es regular y su rango es máximo. $$\text{rango}(A) = 3$$ **Caso 2: $k = \sqrt{3}$ o $k = -\sqrt{3}$** Si $k$ toma alguno de estos valores, el determinante $|A| = 0$, por lo que el $\text{rango}(A) \lt 3$. Buscamos ahora un menor de orden 2 que sea distinto de cero. Tomamos, por ejemplo, el menor formado por las dos primeras filas y columnas: $$M = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ k & 1 \end{vmatrix} = 1 - 3k$$ - Si $k = \sqrt{3}$, $M = 1 - 3\sqrt{3} \neq 0$. - Si $k = -\sqrt{3}$, $M = 1 + 3\sqrt{3} \neq 0$. En ambos casos, al existir un menor de orden 2 no nulo, el rango es 2. ✅ **Resultado del estudio:** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } k \neq \pm\sqrt{3}, & \text{rango}(A) = 3 \\ \text{Si } k = \pm\sqrt{3}, & \text{rango}(A) = 2 \end{cases}}$$

**(b) [1’25 puntos] Para $k = 0$, halla la matriz inversa de $A$.** Primero, sustituimos $k = 0$ en la matriz $A$ y calculamos su determinante: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 7 & 0 \end{pmatrix}$$ Usando la expresión anterior $|A| = 4k^2 - 12$: $$|A| = 4(0)^2 - 12 = -12$$ Como $|A| \neq 0$, la matriz tiene inversa. La fórmula es $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^T$. 💡 **Tip:** La matriz inversa existe si y solo si el determinante de la matriz es distinto de cero.

Calculamos los adjuntos $A_{ij}$ de cada elemento de la matriz $A$: $A_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 7 & 0 \end{vmatrix} = -21$; $A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -(-3) = 3$; $A_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 7 \end{vmatrix} = -1$ $A_{21} = -\begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 7 & 0 \end{vmatrix} = 0$; $A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$; $A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 7 \end{vmatrix} = -(7 - 3) = -4$ $A_{31} = +\begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 9$; $A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = -3$; $A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$ La matriz adjunta es: $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -21 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & -4 \\ 9 & -3 & 1 \end{pmatrix}$$

Calculamos la traspuesta de la matriz adjunta: $$(\text{Adj}(A))^T = \begin{pmatrix} -21 & 0 & 9 \\ 3 & 0 & -3 \\ -1 & -4 & 1 \end{pmatrix}$$ Finalmente, dividimos por el determinante $|A| = -12$: $$A^{-1} = \frac{1}{-12} \begin{pmatrix} -21 & 0 & 9 \\ 3 & 0 & -3 \\ -1 & -4 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{21}{12} & 0 & -\frac{9}{12} \\ -\frac{3}{12} & 0 & \frac{3}{12} \\ \frac{1}{12} & \frac{4}{12} & -\frac{1}{12} \end{pmatrix}$$ Simplificando las fracciones: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{7}{4} & 0 & -\frac{3}{4} \\ -\frac{1}{4} & 0 & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{12} & \frac{1}{3} & -\frac{1}{12} \end{pmatrix}}$$