Estudio de una función polinómica, recta tangente e integral definida

**(a) [0’5 puntos] Esboza la gráfica de $g$.** Para esbozar la gráfica de $g(x) = \frac{1}{4}x^3 - x^2 + x$, identificamos primero sus puntos de corte con los ejes y sus extremos relativos. **Cortes con el eje OX ($g(x)=0$):** $$\frac{1}{4}x^3 - x^2 + x = 0 \implies x\left(\frac{1}{4}x^2 - x + 1\right) = 0$$ De aquí obtenemos $x=0$ y, resolviendo la ecuación de segundo grado: $$x^2 - 4x + 4 = 0 \implies (x-2)^2 = 0 \implies x=2$$ Los puntos de corte son $(0,0)$ y $(2,0)$. **Extremos relativos (derivada primera):** Calculamos $g'(x)$ e igualamos a cero: $$g'(x) = \frac{3}{4}x^2 - 2x + 1$$ $$3x^2 - 8x + 4 = 0 \implies x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{6} = \frac{8 \pm 4}{6}$$ Esto nos da dos candidatos a extremos: $x_1 = 2$ y $x_2 = \frac{2}{3}$. Estudiamos el signo de $g'(x)$ en los intervalos definidos por las raíces: $$ \begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 2/3) & 2/3 & (2/3, 2) & 2 & (2, +\infty) \\ \hline g'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \text{Monotonía} & \text{Creciente} & \text{Máximo} & \text{Decreciente} & \text{Mínimo} & \text{Creciente} \end{array} $$ 💡 **Tip:** Para esbozar rápidamente, recuerda que una función cúbica con coeficiente principal positivo tiende a $-\infty$ cuando $x \to -\infty$ y a $+\infty$ cuando $x \to +\infty$.

Calculamos las ordenadas de los extremos para situarlos en el plano: - Para $x=2$, $g(2) = \frac{1}{4}(8) - 4 + 2 = 0$. El punto es $(2,0)$ (**Mínimo relativo**). - Para $x=2/3$, $g(2/3) = \frac{1}{4}(\frac{8}{27}) - \frac{4}{9} + \frac{2}{3} = \frac{2}{27} - \frac{12}{27} + \frac{18}{27} = \frac{8}{27} \approx 0.3$. El punto es $(2/3, 8/27)$ (**Máximo relativo**). Con estos datos y los cortes en $(0,0)$ y $(2,0)$, podemos representar la función.

**(b) [0’75 puntos] Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $g$ en el punto de abscisa $x = 2$.** La ecuación de la recta tangente en un punto $x=a$ viene dada por: $$y - g(a) = g'(a)(x - a)$$ 1. Calculamos la imagen del punto: $g(2)$. Como vimos en el apartado anterior, $x=2$ es un punto de corte con el eje OX, por lo que: $$g(2) = 0$$ 2. Calculamos la pendiente de la tangente: $g'(2)$. Utilizamos la derivada hallada anteriormente $g'(x) = \frac{3}{4}x^2 - 2x + 1$: $$g'(2) = \frac{3}{4}(2)^2 - 2(2) + 1 = 3 - 4 + 1 = 0$$ 3. Sustituimos en la fórmula: $$y - 0 = 0 \cdot (x - 2) \implies y = 0$$ 💡 **Tip:** Que la pendiente sea $0$ significa que la recta tangente es horizontal. Esto coincide con el hecho de que $x=2$ es un mínimo relativo de la función. ✅ **Resultado (Recta tangente):** $$\boxed{y = 0}$$ (La recta tangente es el propio eje de abscisas).

**(c) [1’25 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de $g$ y el eje de abscisas.** El recinto está limitado por la función $g(x)$ y el eje OX ($y=0$). Los puntos de corte de la función con el eje OX, calculados en el apartado (a), son $x=0$ y $x=2$. Debemos comprobar el signo de la función en el intervalo $(0, 2)$. Como vimos que tiene un máximo positivo en $x=2/3$, la función es positiva en todo el intervalo $(0,2)$ (o podemos evaluar $g(1) = 1/4 - 1 + 1 = 1/4 > 0$). El área es la integral definida: $$A = \int_{0}^{2} \left( \frac{1}{4}x^3 - x^2 + x \right) dx$$ Calculamos la primitiva: $$\int \left( \frac{1}{4}x^3 - x^2 + x \right) dx = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} = \frac{x^4}{16} - \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2}$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$A = \left[ \frac{x^4}{16} - \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2}$$ $$A = \left( \frac{2^4}{16} - \frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} \right) - (0) = \left( \frac{16}{16} - \frac{8}{3} + \frac{4}{2} \right)$$ $$A = 1 - \frac{8}{3} + 2 = 3 - \frac{8}{3} = \frac{9 - 8}{3} = \frac{1}{3}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área siempre debe ser un valor positivo. Si el resultado de la integral fuera negativo, deberíamos tomar su valor absoluto. ✅ **Resultado (Área):** $$\boxed{A = \frac{1}{3} \text{ u}^2}$$