Estudio de las asíntotas de una función exponencial racional

Para determinar las asíntotas verticales, primero identificamos los puntos donde la función no está definida. El enunciado nos indica que $x \neq 0$. Comprobamos que el denominador se anula en dicho punto: $$e^x - 1 = 0 \implies e^x = 1 \implies x = \ln(1) = 0$$ El dominio de la función es $\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\}$. Para confirmar si hay una asíntota vertical en $x = 0$, calculamos los límites laterales: - Por la derecha ($x \to 0^+$): $$\lim_{x \to 0^+} \frac{e^x + 1}{e^x - 1} = \frac{e^0 + 1}{e^{0^+} - 1} = \frac{1 + 1}{1^+ - 1} = \frac{2}{0^+} = +\infty$$ - Por la izquierda ($x \to 0^-$): $$\lim_{x \to 0^-} \frac{e^x + 1}{e^x - 1} = \frac{e^0 + 1}{e^{0^-} - 1} = \frac{1 + 1}{1^- - 1} = \frac{2}{0^-} = -\infty$$ Como al menos uno de los límites laterales es infinito, existe una asíntota vertical. 💡 **Tip:** Las asíntotas verticales se encuentran habitualmente en los puntos que anulan el denominador de una función racional. ✅ **Resultado (Asíntota Vertical):** $$\boxed{x = 0}$$

Calculamos el límite de la función cuando $x$ tiende a $+\infty$: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x + 1}{e^x - 1}$$ Al evaluar, obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{\infty}{\infty}$. Aplicamos la **regla de L'Hôpital**, derivando numerador y denominador por separado: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{(e^x + 1)'}{(e^x - 1)'} = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{e^x} = \lim_{x \to +\infty} 1 = 1$$ Por tanto, hay una asíntota horizontal por la derecha en $y = 1$. 💡 **Tip:** También podríamos haber resuelto este límite dividiendo todos los términos por $e^x$: $\lim_{x \to +\infty} \frac{1 + 1/e^x}{1 - 1/e^x} = \frac{1+0}{1-0} = 1$. ✅ **Resultado (AH derecha):** $$\boxed{y = 1 \text{ cuando } x \to +\infty}$$

Calculamos el límite de la función cuando $x$ tiende a $-\infty$: $$\lim_{x \to -\infty} \frac{e^x + 1}{e^x - 1}$$ Recordamos que $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$. Al sustituir directamente en la expresión: $$\lim_{x \to -\infty} \frac{e^x + 1}{e^x - 1} = \frac{0 + 1}{0 - 1} = \frac{1}{-1} = -1$$ En este caso no hay indeterminación, y obtenemos que existe una asíntota horizontal por la izquierda en $y = -1$. 💡 **Tip:** En funciones con exponenciales de tipo $e^x$, es fundamental estudiar los límites en $+\infty$ y $-\infty$ por separado, ya que el comportamiento de la exponencial es radicalmente distinto. ✅ **Resultado (AH izquierda):** $$\boxed{y = -1 \text{ cuando } x \to -\infty}$$

Puesto que la función presenta asíntotas horizontales tanto cuando $x \to +\infty$ como cuando $x \to -\infty$, **no existen asíntotas oblicuas** en ninguna de las dos direcciones. 💡 **Tip:** La existencia de una asíntota horizontal en una dirección ($\pm \infty$) excluye automáticamente la existencia de una asíntota oblicua en esa misma dirección. En resumen, las asíntotas de la gráfica de $f$ son: - **Asíntota vertical:** $x = 0$ - **Asíntotas horizontales:** $y = 1$ (en $+\infty$) y $y = -1$ (en $-\infty$) Podemos visualizar la función y sus asíntotas en el siguiente gráfico: ✅ **Resultado Final:** $$\boxed{\text{AV: } x=0, \quad \text{AH: } y=1 \ (x \to +\infty) \text{ e } y=-1 \ (x \to -\infty)}$$