Perpendicularidad y paralelismo entre rectas en el espacio

**(a) [1’5 puntos] Halla el valor de $m$ para el que $r$ y $s$ son perpendiculares.** Para estudiar la posición relativa y la perpendicularidad entre dos rectas, primero debemos extraer sus vectores directores. Para la recta $r: mx = y = z + 2$, podemos escribirla en forma continua para ver claramente el vector: $$\frac{x}{1/m} = \frac{y}{1} = \frac{z + 2}{1}$$ Un vector director de $r$ sería $\vec{v_r} = (\frac{1}{m}, 1, 1)$. Para trabajar de forma más sencilla sin fracciones, podemos multiplicar por $m$ (ya que $m \neq 0$) y obtener: $$\vec{u_r} = (1, m, m)$$ Para la recta $s: \frac{x - 4}{4} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z}{2}$, el vector director es directo: $$\vec{v_s} = (4, 1, 2)$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta en forma continua $\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c}$ es $(a, b, c)$.

Dos rectas son perpendiculares si y solo si el producto escalar de sus vectores directores es igual a cero: $$r \perp s \iff \vec{u_r} \cdot \vec{v_s} = 0$$ Calculamos el producto escalar utilizando los vectores hallados: $$(1, m, m) \cdot (4, 1, 2) = 0$$ $$1 \cdot 4 + m \cdot 1 + m \cdot 2 = 0$$ $$4 + m + 2m = 0$$ $$4 + 3m = 0$$ Despejamos $m$: $$3m = -4 \implies m = -\frac{4}{3}$$ Como el enunciado indicaba que $m \neq 0$, la solución es válida. ✅ **Resultado:** $$\boxed{m = -\frac{4}{3}}$$

**(b) [1 punto] Deduce razonadamente si existe algún valor de $m$ para el que $r$ y $s$ son paralelas.** Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son proporcionales, es decir, si sus coordenadas son proporcionales: $$r \parallel s \iff \vec{u_r} = k \cdot \vec{v_s} \iff \frac{1}{4} = \frac{m}{1} = \frac{m}{2}$$ Analizamos las igualdades por separado para ver si existe un valor de $m$ que las cumpla simultáneamente: 1. De $\frac{1}{4} = \frac{m}{1}$, obtenemos que $m = \frac{1}{4}$. 2. De $\frac{1}{4} = \frac{m}{2}$, obtenemos que $m = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Como obtenemos dos valores distintos para $m$ ($1/4 \neq 1/2$), concluimos que no existe ningún valor de $m$ que haga que los vectores sean proporcionales. 💡 **Tip:** Para que dos vectores sean proporcionales, la razón entre sus componentes debe ser constante en todas las dimensiones.

Puesto que para que las rectas sean paralelas se debería cumplir que: $$\frac{1}{4} = m = \frac{m}{2}$$ Lo cual implica que $m = 1/4$ y $m = 1/2$ a la vez, lo cual es una contradicción. Por tanto, podemos afirmar que **no existe ningún valor de $m$** para el cual las rectas $r$ y $s$ sean paralelas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\nexists m \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \text{ tal que } r \parallel s}$$