Discusión y resolución de un sistema homogéneo con parámetro

**(a) [1 punto] Determina razonadamente los valores del parámetro $m$ para los que el siguiente sistema de ecuaciones tiene más de una solución:** En primer lugar, reescribimos el sistema agrupando todas las incógnitas en el miembro de la izquierda para obtener un sistema homogéneo. Un sistema homogéneo es aquel en el que todos los términos independientes son iguales a cero. $$\begin{cases} (2-m)x + y + z = 0 \\ x + (2-m)y + z = 0 \\ x + 2y + (4-m)z = 0 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Un sistema homogéneo siempre es compatible, ya que admite al menos la solución trivial $(0,0,0)$. Para que tenga "más de una solución", debe ser un **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)**, lo que implica que el determinante de la matriz de coeficientes sea cero.

Definimos la matriz de coeficientes $A$: $$A = \begin{pmatrix} 2-m & 1 & 1 \\ 1 & 2-m & 1 \\ 1 & 2 & 4-m \end{pmatrix}$$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, para que un sistema homogéneo de 3 ecuaciones con 3 incógnitas tenga soluciones infinitas (más de una), el rango de la matriz $A$ debe ser menor que 3. Esto ocurre si y solo si $|A| = 0$. Calculamos el determinante mediante la regla de Sarrus: $$|A| = [(2-m)(2-m)(4-m) + 1 + 2] - [(2-m) + 2(2-m) + (4-m)]$$ $$|A| = (4 - 4m + m^2)(4-m) + 3 - [2 - m + 4 - 2m + 4 - m]$$ $$|A| = (16 - 4m - 16m + 4m^2 + 4m^2 - m^3) + 3 - [10 - 4m]$$ $$|A| = -m^3 + 8m^2 - 20m + 16 + 3 - 10 + 4m$$ $$|A| = -m^3 + 8m^2 - 16m + 9$$

Igualamos el polinomio característico a cero para hallar los valores críticos de $m$: $$-m^3 + 8m^2 - 16m + 9 = 0$$ Probamos raíces enteras usando la regla de Ruffini con los divisores de 9. Para $m=1$: $$\begin{array}{r|rrrr} & -1 & 8 & -16 & 9 \\ 1 & & -1 & 7 & -9 \\ \hline & -1 & 7 & -9 & 0 \end{array}$$ La primera raíz es $m_1 = 1$. Ahora resolvemos la ecuación de segundo grado resultante: $$-m^2 + 7m - 9 = 0 \implies m^2 - 7m + 9 = 0$$ $$m = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4(1)(9)}}{2(1)} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 36}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{13}}{2}$$ ✅ **Resultado (valores de $m$):** $$\boxed{m = 1, \quad m = \frac{7 + \sqrt{13}}{2}, \quad m = \frac{7 - \sqrt{13}}{2}}$$

**(b) [1’5 puntos] Resuelve el sistema anterior para el caso $m = 0$ y para el caso $m = 1$.** **Caso $m = 0$:** Sustituimos $m = 0$ en el determinante calculado anteriormente: $$|A|_{m=0} = -0^3 + 8(0)^2 - 16(0) + 9 = 9 \neq 0$$ Como el determinante es distinto de cero, el rango de la matriz $A$ es 3. Por el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**. En un sistema homogéneo SCD, la única solución es la trivial. ✅ **Resultado ($m=0$):** $$\boxed{x = 0, \quad y = 0, \quad z = 0}$$

**Caso $m = 1$:** Como vimos en el apartado (a), para $m=1$ el determinante es $|A| = 0$, por lo que el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. Sustituimos $m=1$ en el sistema: $$\begin{cases} x + y + z = 0 \\ x + y + z = 0 \\ x + 2y + 3z = 0 \end{cases}$$ Las dos primeras ecuaciones son idénticas, por lo que el sistema se reduce a: $$\begin{cases} x + y + z = 0 \\ x + 2y + 3z = 0 \end{cases}$$ Tomamos $z = \lambda$ como parámetro $(\lambda \in \mathbb{R})$: 1) $x + y = -\lambda$ 2) $x + 2y = -3\lambda$ Restamos la ecuación (1) a la (2): $$(x + 2y) - (x + y) = -3\lambda - (-\lambda) \implies y = -2\lambda$$ Sustituimos $y$ en la primera ecuación: $$x + (-2\lambda) = -\lambda \implies x = \lambda$$ ✅ **Resultado ($m=1$):** $$\boxed{(x, y, z) = (\lambda, -2\lambda, \lambda) \quad \text{con } \lambda \in \mathbb{R}}$$