Primitivas e Integración por Partes

**(a) [1’25 puntos] Halla la primitiva de $f$ que toma el valor 1 cuando $x = \frac{\pi}{3}$ (se puede hacer el cambio de variable $t = \cos x$).** Primero debemos hallar la integral indefinida de la función $f(x)$. Como sugiere el enunciado, aplicamos el cambio de variable $t = \cos x$. Calculamos el diferencial de $t$: $$dt = (\cos x)' dx = -\text{sen } x \, dx \implies \text{sen } x \, dx = -dt$$ Sustituimos en la integral: $$\int f(x) \, dx = \int \frac{\text{sen } x}{\cos^3 x} \, dx = \int \frac{-dt}{t^3}$$ 💡 **Tip:** El cambio de variable nos permite transformar una función trigonométrica compleja en una integral de potencia mucho más sencilla.

Resolvemos la integral de la potencia utilizando la regla $\int t^n \, dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C$: $$\int -t^{-3} \, dt = -\frac{t^{-3+1}}{-3+1} + C = -\frac{t^{-2}}{-2} + C = \frac{1}{2t^2} + C$$ Deshacemos el cambio de variable volviendo a $t = \cos x$: $$F(x) = \frac{1}{2\cos^2 x} + C$$ 💡 **Tip:** No olvides que al integrar potencias negativas como $t^{-3}$, el exponente aumenta a $-2$ y debemos dividir por ese mismo valor.

Se nos pide la primitiva que cumple $F\left(\frac{\pi}{3}\right) = 1$. Sustituimos el valor de $x$: $$F\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2\cos^2\left(\frac{\pi}{3}\right)} + C = 1$$ Sabemos que $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$, por tanto: $$\frac{1}{2\left(\frac{1}{2}\right)^2} + C = 1 \implies \frac{1}{2\left(\frac{1}{4}\right)} + C = 1 \implies \frac{1}{\frac{1}{2}} + C = 1$$ $$2 + C = 1 \implies C = -1$$ La primitiva buscada es: ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{F(x) = \frac{1}{2\cos^2 x} - 1}$$ 💡 **Tip:** La condición inicial sirve para encontrar el valor específico de la constante de integración $C$ dentro de la familia de primitivas.

**(b) [1’25 puntos] Calcula $\int g(x) dx$.** Para calcular la integral de $g(x) = x^3 \ln x$, utilizaremos el método de integración por partes. Elegimos las partes según la regla ALPES (Logarítmicas antes que Potencias): - $u = \ln x \implies du = \frac{1}{x} dx$ - $dv = x^3 dx \implies v = \frac{x^4}{4}$ 💡 **Tip:** Recuerda la fórmula de integración por partes: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.

Aplicamos la fórmula de integración por partes: $$\int x^3 \ln x \, dx = (\ln x) \cdot \frac{x^4}{4} - \int \frac{x^4}{4} \cdot \frac{1}{x} \, dx$$ Simplificamos la integral resultante: $$\frac{x^4}{4} \ln x - \frac{1}{4} \int x^3 \, dx$$ Integramos de nuevo: $$\frac{x^4}{4} \ln x - \frac{1}{4} \left( \frac{x^4}{4} \right) + C = \frac{x^4}{4} \ln x - \frac{x^4}{16} + C$$ Podemos sacar factor común para simplificar el resultado: ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{\int x^3 \ln x \, dx = \frac{x^4}{4} \left( \ln x - \frac{1}{4} \right) + C}$$ 💡 **Tip:** Siempre que tengas el producto de un polinomio y un logaritmo, intenta que $u$ sea el logaritmo para que al derivarlo se convierta en una función racional que se cancele con la potencia.