Monotonía y extremos de una función exponencial

**(a) [1’5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$.** Para estudiar el crecimiento y decrecimiento de una función, debemos calcular su primera derivada y estudiar su signo. La función es $f(x) = (3x - 2x^2) e^x$. Aplicamos la regla del producto $(u \cdot v)' = u'v + uv'$: - Sea $u = 3x - 2x^2 \implies u' = 3 - 4x$ - Sea $v = e^x \implies v' = e^x$ $$f'(x) = (3 - 4x)e^x + (3x - 2x^2)e^x$$ Factorizamos sacando factor común $e^x$: $$f'(x) = e^x(3 - 4x + 3x - 2x^2) = e^x(-2x^2 - x + 3)$$ 💡 **Tip:** Siempre que derivemos una función del tipo $P(x)e^x$, el resultado será otro polinomio multiplicado por $e^x$. Sacar factor común simplifica enormemente el estudio del signo. $$\boxed{f'(x) = (-2x^2 - x + 3)e^x}$$

Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos donde la función puede cambiar su crecimiento: $$f'(x) = 0 \implies (-2x^2 - x + 3)e^x = 0$$ Como la función exponencial $e^x$ nunca es cero ($e^x \gt 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$), la ecuación se reduce a: $$-2x^2 - x + 3 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(-2)(3)}}{2(-2)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{-4} = \frac{1 \pm 5}{-4}$$ Obtenemos dos soluciones: - $x_1 = \frac{6}{-4} = -1.5 = -\frac{3}{2}$ - $x_2 = \frac{-4}{-4} = 1$ Los puntos críticos son **$x = -\frac{3}{2}$** y **$x = 1$**.

Dividimos la recta real en intervalos definidos por los puntos críticos para estudiar el signo de $f'(x)$. Dado que $e^x$ siempre es positivo, el signo de $f'(x)$ depende exclusivamente del polinomio $-2x^2 - x + 3$ (una parábola abierta hacia abajo). $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -1.5) & -1.5 & (-1.5, 1) & 1 & (1, +\infty)\\\hline e^x & + & + & + & + & +\\ -2x^2 - x + 3 & - & 0 & + & 0 & -\\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - \end{array}$$ - En $(-\infty, -1.5)$, $f'(x) \lt 0$, por lo que $f(x)$ es **decreciente**. - En $(-1.5, 1)$, $f'(x) \gt 0$, por lo que $f(x)$ es **creciente**. - En $(1, +\infty)$, $f'(x) \lt 0$, por lo que $f(x)$ es **decreciente**. ✅ **Resultado (intervalos):** $$\boxed{\text{Creciente en } (-1.5, 1) \text{ y decreciente en } (-\infty, -1.5) \cup (1, +\infty)}$$

**(b) [1 punto] Calcula los extremos relativos de $f$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).** A partir del estudio de la monotonía anterior: 1. En $x = -1.5$, la función pasa de decrecer a crecer, por lo que hay un **mínimo relativo**. 2. En $x = 1$, la función pasa de crecer a decrecer, por lo que hay un **máximo relativo**. Calculamos los valores de la función (ordenadas) en estos puntos: Para $x = 1$: $$f(1) = (3(1) - 2(1)^2)e^1 = (3 - 2)e = e$$ Para $x = -1.5 = -3/2$: $$f\left(-\frac{3}{2}\right) = \left(3\left(-\frac{3}{2}\right) - 2\left(-\frac{3}{2}\right)^2\right)e^{-3/2} = \left(-\frac{9}{2} - 2\cdot\frac{9}{4}\right)e^{-3/2}$$ $$f\left(-\frac{3}{2}\right) = \left(-\frac{9}{2} - \frac{9}{2}\right)e^{-3/2} = -9e^{-3/2} = -\frac{9}{\sqrt{e^3}}$$ 💡 **Tip:** Los extremos relativos siempre se deben dar como coordenadas $(x, y)$ o especificando claramente el valor de la función. ✅ **Resultado (extremos):** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } (1, e) \text{ y mínimo relativo en } (-1.5, -9e^{-1.5})}$$