Punto de una recta equidistante a dos puntos

Para trabajar cómodamente con un punto genérico de la recta $r$, primero transformamos sus ecuaciones implícitas a ecuaciones paramétricas. Partimos del sistema: $$\begin{cases} x - y - z = -1 \\ 3x - 2z = -5 \end{cases}$$ De la segunda ecuación, despejamos $z$ en función de $x$: $$2z = 3x + 5 \implies z = \frac{3}{2}x + \frac{5}{2}$$ Sustituimos $z$ en la primera ecuación para despejar $y$: $$y = x - z + 1 = x - \left(\frac{3}{2}x + \frac{5}{2}\right) + 1 = x - \frac{3}{2}x - \frac{5}{2} + 1 = -\frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$$ Para evitar fracciones, podemos hacer el cambio de variable $x = -1 + 2\lambda$. Entonces: - $x = -1 + 2\lambda$ - $y = -\frac{1}{2}(-1 + 2\lambda) - \frac{3}{2} = \frac{1}{2} - \lambda - \frac{3}{2} = -1 - \lambda$ - $z = \frac{3}{2}(-1 + 2\lambda) + \frac{5}{2} = -\frac{3}{2} + 3\lambda + \frac{5}{2} = 1 + 3\lambda$ Cualquier punto $P$ de la recta $r$ tendrá la forma: $$\boxed{P(-1 + 2\lambda, -1 - \lambda, 1 + 3\lambda)}$$ 💡 **Tip:** Las ecuaciones paramétricas nos permiten expresar todas las coordenadas de un punto de la recta en función de un único parámetro $\lambda$.

Buscamos un punto $P \in r$ tal que la distancia de $P$ a $A$ sea igual a la distancia de $P$ a $B$: $$d(P, A) = d(P, B)$$ Para simplificar los cálculos, elevamos al cuadrado ambos miembros de la ecuación: $$d(P, A)^2 = d(P, B)^2$$ Dados $A(2, 1, -1)$ y $B(-2, 3, 1)$, la fórmula de la distancia al cuadrado entre dos puntos $(x_1, y_1, z_1)$ y $(x_2, y_2, z_2)$ es $(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2$. Sustituyendo las coordenadas de $P(-1+2\lambda, -1-\lambda, 1+3\lambda)$: $$( (-1 + 2\lambda) - 2 )^2 + ( (-1 - \lambda) - 1 )^2 + ( (1 + 3\lambda) - (-1) )^2 = ( (-1 + 2\lambda) - (-2) )^2 + ( (-1 - \lambda) - 3 )^2 + ( (1 + 3\lambda) - 1 )^2$$ Simplificamos los términos dentro de los paréntesis: $$(2\lambda - 3)^2 + (-\lambda - 2)^2 + (3\lambda + 2)^2 = (2\lambda + 1)^2 + (-\lambda - 4)^2 + (3\lambda)^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ y $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Ten cuidado con los signos negativos.

Desarrollamos las identidades notables de ambos lados de la igualdad: **Lado izquierdo:** - $(2\lambda - 3)^2 = 4\lambda^2 - 12\lambda + 9$ - $(-\lambda - 2)^2 = (\lambda + 2)^2 = \lambda^2 + 4\lambda + 4$ - $(3\lambda + 2)^2 = 9\lambda^2 + 12\lambda + 4$ Suma total: $(4+1+9)\lambda^2 + (-12+4+12)\lambda + (9+4+4) = 14\lambda^2 + 4\lambda + 17$ **Lado derecho:** - $(2\lambda + 1)^2 = 4\lambda^2 + 4\lambda + 1$ - $(-\lambda - 4)^2 = (\lambda + 4)^2 = \lambda^2 + 8\lambda + 16$ - $(3\lambda)^2 = 9\lambda^2$ Suma total: $(4+1+9)\lambda^2 + (4+8)\lambda + (1+16) = 14\lambda^2 + 12\lambda + 17$ Igualamos ambas expresiones: $$14\lambda^2 + 4\lambda + 17 = 14\lambda^2 + 12\lambda + 17$$ Restamos $14\lambda^2$ y $17$ en ambos lados: $$4\lambda = 12\lambda$$ $$8\lambda = 0 \implies \lambda = 0$$ 💡 **Tip:** Es normal que los términos en $\lambda^2$ se cancelen en problemas de equidistancia, ya que el lugar geométrico de los puntos que equidistan de dos puntos es un plano (el plano mediador), y estamos buscando su intersección con una recta.

Una vez hallado el valor del parámetro $\lambda = 0$, sustituimos en las coordenadas genéricas del punto $P$ que definimos al principio: - $x = -1 + 2(0) = -1$ - $y = -1 - (0) = -1$ - $z = 1 + 3(0) = 1$ Por tanto, el punto de la recta $r$ que equidista de $A$ y $B$ es $P(-1, -1, 1)$. Podemos comprobar rápidamente las distancias: $d(P, A) = \sqrt{(-1-2)^2 + (-1-1)^2 + (1-(-1))^2} = \sqrt{9+4+4} = \sqrt{17}$ $d(P, B) = \sqrt{(-1-(-2))^2 + (-1-3)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{1+16+0} = \sqrt{17}$ Como las distancias coinciden, el resultado es correcto. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P(-1, -1, 1)}$$