Inversa de una matriz y resolución de ecuaciones matriciales

**(a) [1 punto] Calcula, si existen, la matriz inversa de $A$ y la de $B$.** Para que una matriz cuadrada tenga inversa, su determinante debe ser distinto de cero ($|A| \neq 0$). Calculamos el determinante de $A$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot 2 \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot 2) + (1 \cdot 1 \cdot 1) - (2 \cdot 2 \cdot 1) - (1 \cdot 1 \cdot 1) - (1 \cdot 1 \cdot 1)$$ $$|A| = 2 + 2 + 1 - 4 - 1 - 1 = -1$$ Como $|A| = -1 \neq 0$, la matriz **$A$ es invertible**. 💡 **Tip:** Una matriz es invertible (o regular) si y solo si su determinante es distinto de cero. Si el determinante es cero, la matriz se llama singular y no tiene inversa.

Utilizamos la fórmula: $A^{-1} = \dfrac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^t$. 1. Hallamos la matriz de los adjuntos de $A$: $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \\ \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -3 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ 2. Calculamos la traspuesta de la adjunta: $$\text{Adj}(A)^t = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 \\ 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 3. Dividimos por el determinante ($|A| = -1$): $$A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 \\ 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado de $A^{-1}$:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}}$$

Calculamos ahora el determinante de la matriz $B$: $$|B| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & 4 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Observamos que la segunda fila es el doble de la primera ($F_2 = 2F_1$). Según las propiedades de los determinantes, si una fila es proporcional a otra, el determinante es cero. Comprobamos por Sarrus: $$|B| = (1 \cdot 0 \cdot 1) + (0 \cdot 4 \cdot (-1)) + (2 \cdot 2 \cdot 1) - (2 \cdot 0 \cdot (-1)) - (0 \cdot 2 \cdot 1) - (1 \cdot 4 \cdot 1)$$ $$|B| = 0 + 0 + 4 - 0 - 0 - 4 = 0$$ Como $|B| = 0$, la matriz **$B$ no tiene inversa**. 💡 **Tip:** Siempre que veas filas o columnas proporcionales, el determinante será cero. Te ahorrarás tiempo en el examen.

**(b) [1’5 puntos] Resuelve la ecuación matricial $AX + B = A + I$, donde $I$ denota la matriz identidad de orden 3.** Primero aislamos la incógnita $X$ operando con las propiedades de las matrices: 1. Restamos $B$ en ambos lados: $$AX = A + I - B$$ 2. Como existe $A^{-1}$, multiplicamos por la izquierda en ambos miembros por $A^{-1}$: $$A^{-1}(AX) = A^{-1}(A + I - B)$$ $$(A^{-1}A)X = A^{-1}(A + I - B)$$ $$IX = A^{-1}(A + I - B)$$ $$X = A^{-1}(A + I - B)$$ 💡 **Tip:** En álgebra matricial no existe la división. Para despejar una matriz que multiplica por la izquierda, multiplicamos por su inversa también por la izquierda.

Calculamos la matriz $C = A + I - B$ realizando las sumas y restas elemento a elemento: $$C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & 4 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ $$C = \begin{pmatrix} 1+1-1 & 1+0-0 & 2+0-2 \\ 1+0-2 & 2+1-0 & 1+0-4 \\ 1+0-(-1) & 1+0-1 & 1+1-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & -3 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{A + I - B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & -3 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$$

Finalmente, multiplicamos $A^{-1}$ por la matriz obtenida en el paso anterior: $$X = A^{-1} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & -3 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & -3 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos el producto fila por columna: - $x_{11} = (-1)(1) + (-1)(-1) + (3)(2) = -1 + 1 + 6 = 6$ - $x_{12} = (-1)(1) + (-1)(3) + (3)(0) = -1 - 3 + 0 = -4$ - $x_{13} = (-1)(0) + (-1)(-3) + (3)(1) = 0 + 3 + 3 = 6$ - $x_{21} = (0)(1) + (1)(-1) + (-1)(2) = 0 - 1 - 2 = -3$ - $x_{22} = (0)(1) + (1)(3) + (-1)(0) = 0 + 3 + 0 = 3$ - $x_{23} = (0)(0) + (1)(-3) + (-1)(1) = 0 - 3 - 1 = -4$ - $x_{31} = (1)(1) + (0)(-1) + (-1)(2) = 1 + 0 - 2 = -1$ - $x_{32} = (1)(1) + (0)(3) + (-1)(0) = 1 + 0 + 0 = 1$ - $x_{33} = (1)(0) + (0)(-3) + (-1)(1) = 0 + 0 - 1 = -1$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 6 & -4 & 6 \\ -3 & 3 & -4 \\ -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}}$$