Integral definida por partes

Para resolver la integral $\int_1^e x^2 \ln(x) dx$, observamos que tenemos un producto de una función polinómica ($x^2$) y una función logarítmica ($\ln(x)$). El método más adecuado en este caso es la **integración por partes**. 💡 **Tip:** Recuerda la fórmula de integración por partes: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Una regla nemotécnica común para elegir $u$ es **ALPES** (Arcos, Logaritmos, Potencias, Exponenciales, Senos/Cosenos). Siguiendo este orden, elegimos el logaritmo como $u$.

Asignamos las variables de la siguiente manera: - Elegimos $u = \ln(x)$. Derivando, obtenemos $du = \dfrac{1}{x} dx$. - Elegimos $dv = x^2 dx$. Integrando, obtenemos $v = \int x^2 dx = \dfrac{x^3}{3}$. Aplicamos la fórmula al cálculo de la integral indefinida primero: $$\int x^2 \ln(x) dx = \ln(x) \cdot \frac{x^3}{3} - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} dx$$

Simplificamos la expresión dentro de la integral: $$\int x^2 \ln(x) dx = \frac{x^3 \ln(x)}{3} - \frac{1}{3} \int x^2 dx$$ Calculamos la integral de $x^2$: $$\int x^2 \ln(x) dx = \frac{x^3 \ln(x)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{x^3 \ln(x)}{3} - \frac{x^3}{9}$$ Por tanto, una primitiva de la función es: $$\boxed{F(x) = \frac{3x^3 \ln(x) - x^3}{9}}$$

Ahora aplicamos la **Regla de Barrow** para evaluar la integral definida entre los límites $1$ y $e$: $$\int_1^e x^2 \ln(x) dx = \left[ \frac{x^3 \ln(x)}{3} - \frac{x^3}{9} \right]_1^e$$ Evaluamos en el límite superior ($x = e$): $$F(e) = \frac{e^3 \ln(e)}{3} - \frac{e^3}{9} = \frac{e^3 \cdot 1}{3} - \frac{e^3}{9} = \frac{3e^3 - e^3}{9} = \frac{2e^3}{9}$$ Evaluamos en el límite inferior ($x = 1$): $$F(1) = \frac{1^3 \ln(1)}{3} - \frac{1^3}{9} = \frac{1 \cdot 0}{3} - \frac{1}{9} = -\frac{1}{9}$$ Restamos ambos valores: $$\int_1^e x^2 \ln(x) dx = F(e) - F(1) = \frac{2e^3}{9} - \left( -\frac{1}{9} \right) = \frac{2e^3 + 1}{9}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\frac{2e^3 + 1}{9} \approx 4.576}$$