Función a trozos con valor absoluto: gráfica, derivabilidad y área

**(a) [0’75 puntos] Esboza la gráfica de $f$.** Primero, eliminamos el valor absoluto de la definición de la función. Recordamos que $|x| = x$ si $x \ge 0$ y $|x| = -x$ si $x \lt 0$. Aplicando esto a la primera rama: - Si $x \lt 0$, $x |x| = x(-x) = -x^2$. - Si $0 \le x \le 2$, $x |x| = x(x) = x^2$. La función redefinida queda como: $$f(x) = \begin{cases} -x^2 & \text{si } x \lt 0 \\ x^2 & \text{si } 0 \le x \le 2 \\ 6 - x & \text{si } x \gt 2 \end{cases}$$ Para el esbozo: 1. $y = -x^2$ es una parábola con vértice en $(0,0)$ abierta hacia abajo. 2. $y = x^2$ es una parábola con vértice en $(0,0)$ abierta hacia arriba. 3. $y = 6 - x$ es una recta que pasa por $(2, 4)$ y $(6, 0)$.

**(b) [1 punto] Estudia la derivabilidad de $f$.** Para que una función sea derivable, primero debe ser continua. Los puntos críticos donde la definición cambia son $x = 0$ y $x = 2$. En el resto de intervalos, $f$ es continua por ser polinómica. **Continuidad en $x = 0$:** - $f(0) = 0^2 = 0$ - $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0} (-x^2) = 0$ - $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0} (x^2) = 0$ Como $f(0) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x)$, la función es **continua en $x = 0$**. **Continuidad en $x = 2$:** - $f(2) = 2^2 = 4$ - $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2} (x^2) = 4$ - $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2} (6 - x) = 4$ Como $f(2) = \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x)$, la función es **continua en $x = 2$**.

Calculamos la derivada de la función en las ramas abiertas: $$f'(x) = \begin{cases} -2x & \text{si } x \lt 0 \\ 2x & \text{si } 0 \lt x \lt 2 \\ -1 & \text{si } x \gt 2 \end{cases}$$ **Derivabilidad en $x = 0$:** - Derivada por la izquierda: $f'(0^-) = -2(0) = 0$ - Derivada por la derecha: $f'(0^+) = 2(0) = 0$ Al coincidir las derivadas laterales, $f$ es **derivable en $x = 0$** con $f'(0) = 0$. **Derivabilidad en $x = 2$:** - Derivada por la izquierda: $f'(2^-) = 2(2) = 4$ - Derivada por la derecha: $f'(2^+) = -1$ Como $f'(2^-) \neq f'(2^+)$, la función **no es derivable en $x = 2$** (hay un punto anguloso). 💡 **Tip:** Gráficamente, un punto anguloso se observa donde la pendiente cambia bruscamente, como ocurre en $x=2$ al pasar de una parábola creciente a una recta decreciente. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f \text{ es derivable en } \mathbb{R} \setminus \{2\}}$$

**(c) [0’75 puntos] Calcula el área comprendida entre la gráfica de $f$ y el eje de abscisas.** El área se encuentra en el recinto donde la función encierra un espacio con el eje $OX$. Según la gráfica, esto ocurre cuando $f(x) \ge 0$. Buscamos los puntos de corte con el eje $OX$ ($f(x) = 0$): - $-x^2 = 0 \implies x = 0$ - $x^2 = 0 \implies x = 0$ - $6 - x = 0 \implies x = 6$ El área buscada comprende el intervalo $[0, 6]$ y se divide en dos partes debido al cambio de rama en $x = 2$: $$A = \int_{0}^{6} f(x) dx = \int_{0}^{2} x^2 \, dx + \int_{2}^{6} (6 - x) \, dx$$ Calculamos cada integral usando la Regla de Barrow: 1. $\int_{0}^{2} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \frac{2^3}{3} - 0 = \frac{8}{3}$ 2. $\int_{2}^{6} (6 - x) \, dx = \left[ 6x - \frac{x^2}{2} \right]_{2}^{6} = \left( 6(6) - \frac{6^2}{2} \right) - \left( 6(2) - \frac{2^2}{2} \right) = (36 - 18) - (12 - 2) = 18 - 10 = 8$ Sumamos las áreas: $$A = \frac{8}{3} + 8 = \frac{8 + 24}{3} = \frac{32}{3}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{32}{3} \text{ u}^2}$$