Intersección de tres planos en una recta

**(a) [1’25 puntos] Calcula el valor de $b$.** Para que tres planos se corten en una recta $r$, el sistema de ecuaciones formado por sus ecuaciones debe ser un **Sistema Compatible Indeterminado** con un grado de libertad (rango 2). Consideramos el sistema: $$\begin{cases} x + 2y + bz = 1 \\ 2x + y + bz = 0 \\ 3x + 3y - 2z = 1 \end{cases}$$ Llamamos $A$ a la matriz de coeficientes y $A^*$ a la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & b \\ 2 & 1 & b \\ 3 & 3 & -2 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & 2 & b & 1 \\ 2 & 1 & b & 0 \\ 3 & 3 & -2 & 1 \end{pmatrix}$$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, para que la intersección sea una recta, debe cumplirse que: $$\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2 < 3 \text{ (nº de incógnitas)}$$ Para que $\text{rango}(A) = 2$, el determinante de la matriz $A$ debe ser igual a cero. 💡 **Tip:** Si el determinante es distinto de cero, el rango sería 3 y los planos se cortarían en un único punto (Sistema Compatible Determinado).

Calculamos el determinante de $A$ aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & b \\ 2 & 1 & b \\ 3 & 3 & -2 \end{vmatrix} = [1 \cdot 1 \cdot (-2) + 2 \cdot b \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot b] - [3 \cdot 1 \cdot b + 3 \cdot b \cdot 1 + (-2) \cdot 2 \cdot 2]$$ Operamos paso a paso: $$|A| = [-2 + 6b + 6b] - [3b + 3b - 8]$$ $$|A| = (12b - 2) - (6b - 8)$$ $$|A| = 12b - 2 - 6b + 8 = 6b + 6$$ Igualamos a cero para encontrar el valor de $b$ que reduce el rango: $$6b + 6 = 0 \implies 6b = -6 \implies b = -1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{b = -1}$$

Para $b = -1$, comprobamos que $\text{rango}(A^*) = 2$. La matriz ampliada es: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 & 0 \\ 3 & 3 & -2 & 1 \end{pmatrix}$$ Observamos que la tercera fila ($F_3$) es la suma de la primera ($F_1$) y la segunda ($F_2$): $$F_1 + F_2 = (1+2, 2+1, -1-1, 1+0) = (3, 3, -2, 1) = F_3$$ Al ser una fila combinación lineal de las otras, podemos prescindir de ella. Además, el menor de orden 2 de la esquina superior izquierda es: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 4 = -3 \neq 0$$ Por tanto, $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2$. El sistema es compatible indeterminado y los planos se cortan efectivamente en una recta. 💡 **Tip:** Siempre es recomendable verificar que el rango de la ampliada no sea 3, ya que en ese caso los planos no tendrían puntos comunes (formarían un prisma).

**(b) [1’25 puntos] Halla unas ecuaciones paramétricas de $r$.** Utilizamos el valor $b = -1$ y el sistema reducido de dos ecuaciones (puesto que la tercera era redundante): $$\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + y - z = 0 \end{cases}$$ Para hallar las paramétricas, resolvemos el sistema en función de un parámetro. Restamos la primera ecuación a la segunda para eliminar $z$: $$(2x + y - z) - (x + 2y - z) = 0 - 1$$ $$x - y = -1 \implies x = y - 1$$ Ahora sustituimos $x = y - 1$ en la segunda ecuación para despejar $z$: $$2(y - 1) + y - z = 0$$ $$2y - 2 + y - z = 0 \implies 3y - 2 = z$$ Tomamos $y$ como el parámetro $\lambda$ ($y = \lambda$). Entonces: $$\begin{cases} x = -1 + \lambda \\ y = \lambda \\ z = -2 + 3\lambda \end{cases}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{r: \begin{cases} x = -1 + \lambda \\ y = \lambda \\ z = -2 + 3\lambda \end{cases} \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$ 💡 **Tip:** Un punto de la recta es $P(-1, 0, -2)$ y su vector director es $\vec{v} = (1, 1, 3)$. Se puede obtener el mismo vector haciendo el producto vectorial de los vectores normales de los planos.