Cálculo de parámetros en potencias de matrices

**Calcula, si existe, el valor de $k$ para el cual $(A - kI)^2$ es la matriz nula.** En primer lugar, planteamos la matriz $M = A - kI$. Para ello, restamos $k$ veces la identidad a la matriz $A$: $$A - kI = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -2 \\ -1 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix} - k \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -k & -1 & -2 \\ -1 & -k & -2 \\ 1 & 1 & 3-k \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la matriz identidad $I$ de orden 3 tiene unos en la diagonal principal y ceros en el resto de posiciones. Al restar $kI$, simplemente restamos $k$ a los elementos de la diagonal de $A$.

Para que $(A - kI)^2$ sea la matriz nula, debemos realizar el producto de la matriz por sí misma: $$(A - kI)^2 = \begin{pmatrix} -k & -1 & -2 \\ -1 & -k & -2 \\ 1 & 1 & 3-k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -k & -1 & -2 \\ -1 & -k & -2 \\ 1 & 1 & 3-k \end{pmatrix}$$ Calculamos los elementos de la matriz resultante: - $c_{11} = (-k)(-k) + (-1)(-1) + (-2)(1) = k^2 + 1 - 2 = k^2 - 1$ - $c_{12} = (-k)(-1) + (-1)(-k) + (-2)(1) = k + k - 2 = 2k - 2$ - $c_{13} = (-k)(-2) + (-1)(-2) + (-2)(3-k) = 2k + 2 - 6 + 2k = 4k - 4$ - $c_{21} = (-1)(-k) + (-k)(-1) + (-2)(1) = k + k - 2 = 2k - 2$ - $c_{22} = (-1)(-1) + (-k)(-k) + (-2)(1) = 1 + k^2 - 2 = k^2 - 1$ - $c_{23} = (-1)(-2) + (-k)(-2) + (-2)(3-k) = 2 + 2k - 6 + 2k = 4k - 4$ - $c_{31} = (1)(-k) + (1)(-1) + (3-k)(1) = -k - 1 + 3 - k = -2k + 2$ - $c_{32} = (1)(-1) + (1)(-k) + (3-k)(1) = -1 - k + 3 - k = -2k + 2$ - $c_{33} = (1)(-2) + (1)(-2) + (3-k)^2 = -4 + (9 - 6k + k^2) = k^2 - 6k + 5$ Por tanto: $$(A - kI)^2 = \begin{pmatrix} k^2-1 & 2k-2 & 4k-4 \\ 2k-2 & k^2-1 & 4k-4 \\ -2k+2 & -2k+2 & k^2-6k+5 \end{pmatrix}$$

Para que $(A - kI)^2$ sea la matriz nula $\mathbf{0}$, todos sus elementos deben ser iguales a $0$. Esto nos da un sistema de ecuaciones sobre $k$: 1) $k^2 - 1 = 0 \implies k = \pm 1$ 2) $2k - 2 = 0 \implies 2k = 2 \implies k = 1$ 3) $4k - 4 = 0 \implies 4k = 4 \implies k = 1$ 4) $-2k + 2 = 0 \implies 2k = 2 \implies k = 1$ 5) $k^2 - 6k + 5 = 0 \implies (k-1)(k-5) = 0 \implies k = 1 \text{ ó } k = 5$ Para que se cumplan todas las ecuaciones simultáneamente, el único valor posible es: $$k = 1$$ 💡 **Tip:** En este tipo de ejercicios, es fundamental comprobar que el valor hallado satisface **todos** los elementos de la matriz resultante, no solo uno. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{k = 1}$$