Cálculo de un parámetro para un área determinada

Para hallar el área del recinto limitado por las gráficas de $f(x) = x^2$ y $g(x) = a$, primero debemos encontrar los puntos donde ambas funciones se intersecan. Estos puntos determinarán los límites de integración. Igualamos ambas funciones: $$f(x) = g(x) \implies x^2 = a$$ Como el enunciado indica que $a > 0$, podemos resolver para $x$ extrayendo la raíz cuadrada: $$x = \pm\sqrt{a}$$ Por tanto, los puntos de corte son $x = -\sqrt{a}$ y $x = \sqrt{a}$. 💡 **Tip:** Los puntos de corte de dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ son las soluciones de la ecuación $f(x) - g(x) = 0$. $$\boxed{x_1 = -\sqrt{a}, \quad x_2 = \sqrt{a}}$$

El área del recinto limitado por dos funciones se calcula mediante la integral definida de la diferencia de las funciones (la superior menos la inferior) entre los puntos de corte. En el intervalo $[-\sqrt{a}, \sqrt{a}]$, la función constante $g(x) = a$ está por encima de la parábola $f(x) = x^2$ (ya que en $x=0$, $g(0)=a > 0$ y $f(0)=0$). El área $A$ viene dada por: $$A = \int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} (g(x) - f(x)) \, dx = \int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} (a - x^2) \, dx$$ Como la función es simétrica respecto al eje $Y$ (ambas son funciones pares), podemos simplificar el cálculo integrando de $0$ a $\sqrt{a}$ y multiplicando por $2$: $$A = 2 \int_{0}^{\sqrt{a}} (a - x^2) \, dx$$ 💡 **Tip:** Si una función es par ($f(x) = f(-x)$), la integral en un intervalo simétrico $[-k, k]$ es el doble de la integral en $[0, k]$.

Calculamos la primitiva y aplicamos la Regla de Barrow: $$\int (a - x^2) \, dx = ax - \frac{x^3}{3}$$ Ahora evaluamos en los límites de integración: $$A = 2 \left[ ax - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{\sqrt{a}} = 2 \left( \left( a\sqrt{a} - \frac{(\sqrt{a})^3}{3} \right) - (0 - 0) \right)$$ Como $(\sqrt{a})^3 = a\sqrt{a}$, simplificamos la expresión: $$A = 2 \left( a\sqrt{a} - \frac{a\sqrt{a}}{3} \right) = 2 \left( \frac{3a\sqrt{a} - a\sqrt{a}}{3} \right) = 2 \left( \frac{2a\sqrt{a}}{3} \right) = \frac{4a\sqrt{a}}{3}$$ 💡 **Tip:** La Regla de Barrow establece que $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, donde $F(x)$ es una primitiva de $f(x)$. $$\boxed{A = \frac{4a\sqrt{a}}{3}}$$

El enunciado nos indica que el valor del área es $4/3$. Igualamos nuestra expresión obtenida a este valor: $$\frac{4a\sqrt{a}}{3} = \frac{4}{3}$$ Simplificamos dividiendo ambos lados por $4/3$: $$a\sqrt{a} = 1$$ Para resolver esta ecuación, podemos expresar la raíz como potencia de exponente fraccionario: $$a^1 \cdot a^{1/2} = 1 \implies a^{3/2} = 1$$ Elevamos ambos miembros a $2/3$ (o simplemente observamos que la única solución real positiva para que una potencia de $a$ sea $1$ es que la base sea $1$): $$a = 1^{2/3} = 1$$ Como el enunciado especificaba que $a > 0$, el resultado es coherente. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 1}$$