Estudio de la monotonía y puntos de inflexión

**(a) [1’25 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$.** Para estudiar el crecimiento y decrecimiento, primero calculamos la derivada de la función $f(x) = e^x(\text{sen } x + \cos x)$ utilizando la regla del producto. $$f'(x) = (e^x)'(\text{sen } x + \cos x) + e^x(\text{sen } x + \cos x)'$$ $$f'(x) = e^x(\text{sen } x + \cos x) + e^x(\cos x - \text{sen } x)$$ Factorizamos $e^x$: $$f'(x) = e^x(\text{sen } x + \cos x + \cos x - \text{sen } x)$$ $$f'(x) = e^x(2\cos x) = 2e^x \cos x$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de un producto es $(u \cdot v)' = u'v + uv'$. Aquí $u = e^x$ y $v = \text{sen } x + \cos x$. $$\boxed{f'(x) = 2e^x \cos x}$$

Para hallar los intervalos de monotonía, buscamos los puntos donde $f'(x) = 0$ dentro del dominio $[0, 2\pi]$. $$2e^x \cos x = 0$$ Como $2e^x$ nunca es cero para cualquier $x \in \mathbb{R}$, la ecuación se reduce a: $$\cos x = 0$$ En el intervalo $[0, 2\pi]$, el coseno se anula en: $$x = \frac{\pi}{2} \quad \text{y} \quad x = \frac{3\pi}{2}$$ Estos valores dividen el dominio en tres intervalos de prueba.

Evaluamos el signo de $f'(x) = 2e^x \cos x$ en cada intervalo. El signo de $f'(x)$ depende exclusivamente de $\cos x$, ya que $2e^x$ siempre es positivo. $$\begin{array}{c|ccccc} x & 0 & (0, \pi/2) & \pi/2 & (\pi/2, 3\pi/2) & 3\pi/2 & (3\pi/2, 2\pi) & 2\pi \\\hline f'(x) & + & + & 0 & - & 0 & + & + \\ f(x) & & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow & \end{array}$$ - En $(0, \pi/2)$, $\cos x > 0 \implies f'(x) > 0$. La función **crece**. - En $(\pi/2, 3\pi/2)$, $\cos x < 0 \implies f'(x) < 0$. La función **decrece**. - En $(3\pi/2, 2\pi)$, $\cos x > 0 \implies f'(x) > 0$. La función **crece**. ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Creciente en: } [0, \pi/2) \cup (3\pi/2, 2\pi] \\ &\text{Decreciente en: } (\pi/2, 3\pi/2) \end{aligned}}$$

**(b) [1’25 puntos] Calcula los puntos de inflexión de la gráfica de $f$.** Los puntos de inflexión se encuentran donde cambia la curvatura, lo cual requiere el estudio de la segunda derivada $f''(x)$. Partimos de $f'(x) = 2e^x \cos x$: $$f''(x) = (2e^x)' \cos x + 2e^x (\cos x)'$$ $$f''(x) = 2e^x \cos x + 2e^x (-\text{sen } x)$$ $$f''(x) = 2e^x (\cos x - \text{sen } x)$$ $$\boxed{f''(x) = 2e^x (\cos x - \text{sen } x)}$$

Igualamos la segunda derivada a cero para encontrar los candidatos a puntos de inflexión: $$2e^x (\cos x - \text{sen } x) = 0$$ Como $2e^x \neq 0$: $$\cos x - \text{sen } x = 0 \implies \text{sen } x = \cos x \implies \text{tg } x = 1$$ Dentro del intervalo $[0, 2\pi]$, la tangente es igual a 1 en el primer y tercer cuadrante: $$x = \frac{\pi}{4} \quad \text{y} \quad x = \frac{5\pi}{4}$$

Analizamos el signo de $f''(x) = 2e^x (\cos x - \text{sen } x)$ para confirmar que hay un cambio de curvatura en los puntos hallados: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (0, \pi/4) & \pi/4 & (\pi/4, 5\pi/4) & 5\pi/4 & (5\pi/4, 2\pi) \\\hline f''(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \text{Curvatura} & \cup & \text{P.I.} & \cap & \text{P.I.} & \cup \end{array}$$ - En $(0, \pi/4)$, $\cos x > \text{sen } x \implies f''(x) > 0$ (Convexa o cóncava hacia arriba). - En $(\pi/4, 5\pi/4)$, $\cos x < \text{sen } x \implies f''(x) < 0$ (Cóncava o cóncava hacia abajo). - En $(5\pi/4, 2\pi)$, $\cos x > \text{sen } x \implies f''(x) > 0$ (Convexa). Como hay cambio de signo en ambos puntos, **ambos son puntos de inflexión**. 💡 **Tip:** Un punto de inflexión no solo debe cumplir $f''(x)=0$, sino que la segunda derivada debe cambiar de signo a su alrededor.

Calculamos la ordenada $y = f(x)$ para cada punto: 1. Para $x = \frac{\pi}{4}$: $$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = e^{\pi/4} \left(\text{sen } \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4}\right) = e^{\pi/4} \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2} e^{\pi/4}$$ 2. Para $x = \frac{5\pi}{4}$: $$f\left(\frac{5\pi}{4}\right) = e^{5\pi/4} \left(\text{sen } \frac{5\pi}{4} + \cos \frac{5\pi}{4}\right) = e^{5\pi/4} \left(-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\sqrt{2} e^{5\pi/4}$$ ✅ **Resultado (Puntos de Inflexión):** $$\boxed{I_1 \left( \frac{\pi}{4}, \sqrt{2} e^{\pi/4} \right), \quad I_2 \left( \frac{5\pi}{4}, -\sqrt{2} e^{5\pi/4} \right)}$$