Recta paralela a un plano y contenida en otro que corta a una recta

Para hallar la recta $s$ solicitada, debemos identificar las condiciones que nos imponen: 1. **$s$ está contenida en $\pi_1$**: Esto implica que el vector director de la recta, $\vec{v}_s$, debe ser perpendicular al vector normal del plano $\pi_1$, es decir, $\vec{v}_s \perp \vec{n}_1$. Además, cualquier punto de la recta debe pertenecer al plano $\pi_1$. 2. **$s$ es paralela a $\pi_2$**: Esto implica que su vector director $\vec{v}_s$ debe ser perpendicular al vector normal del plano $\pi_2$, es decir, $\vec{v}_s \perp \vec{n}_2$. 3. **$s$ corta a la recta $r$**: Como $s$ está contenida en $\pi_1$, el punto de corte entre $s$ y $r$ debe ser, necesariamente, el punto de intersección entre la recta $r$ y el plano $\pi_1$. Identificamos los vectores normales de los planos: - $\pi_1: x + y + z = 0 \implies \vec{n}_1 = (1, 1, 1)$ - $\pi_2: y + z = 0 \implies \vec{n}_2 = (0, 1, 1)$

Como el vector director $\vec{v}_s$ debe ser perpendicular simultáneamente a $\vec{n}_1$ y $\vec{n}_2$, lo calculamos mediante el producto vectorial de ambos: $$\vec{v}_s = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante desarrollando por la primera fila: $$\vec{v}_s = (1\cdot 1 - 1\cdot 1)\mathbf{i} - (1\cdot 1 - 0\cdot 1)\mathbf{j} + (1\cdot 1 - 0\cdot 1)\mathbf{k}$$ $$\vec{v}_s = (0)\mathbf{i} - (1)\mathbf{j} + (1)\mathbf{k} = (0, -1, 1)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial de los vectores normales de dos planos nos da la dirección de una recta que es paralela a ambos o contenida en la intersección. $$\boxed{\vec{v}_s = (0, -1, 1)}$$

La recta $s$ debe cortar a $r$. Como $s$ vive en $\pi_1$, el punto de corte $P$ será la intersección de la recta $r$ con el plano $\pi_1$. Primero, expresamos la recta $r$ en ecuaciones paramétricas. De $\begin{cases} x = 1 \\ x - y = 0 \end{cases}$ obtenemos: - $x = 1$ - $y = x = 1$ - $z = \lambda$ (ya que no hay restricción para $z$) Entonces, un punto genérico de $r$ es $(1, 1, \lambda)$. Sustituimos este punto en la ecuación del plano $\pi_1: x + y + z = 0$: $$1 + 1 + \lambda = 0 \implies 2 + \lambda = 0 \implies \lambda = -2$$ El punto de intersección $P$ es: $$P(1, 1, -2)$$ $$\boxed{P = (1, 1, -2)}$$

Ya tenemos un punto $P(1, 1, -2)$ y un vector director $\vec{v}_s = (0, -1, 1)$. Podemos escribir la ecuación de la recta $s$ en forma continua o paramétrica. En forma paramétrica: $$s: \begin{cases} x = 1 \\ y = 1 - t \\ z = -2 + t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}$$ También podemos expresarla como intersección de dos planos. Sabemos que está en $\pi_1$ ($x+y+z=0$). La otra condición es que sea paralela a $\pi_2$ pasando por $P$. Como $\vec{v}_s$ es el producto vectorial de las normales, la recta es la intersección de planos con esas normales convenientemente desplazados. Verifiquemos que cumple todo: - ¿Contenida en $\pi_1$? $1 + (1-t) + (-2+t) = 1 + 1 - t - 2 + t = 0$. **Sí**. - ¿Paralela a $\pi_2$? $\vec{v}_s \cdot \vec{n}_2 = (0,-1,1) \cdot (0,1,1) = 0 - 1 + 1 = 0$. **Sí**. - ¿Corta a $r$? Pasa por $P(1,1,-2)$ que pertenece a $r$. **Sí**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{s: \begin{cases} x = 1 \\ y + z = -1 \end{cases}}$$ *(Nota: la segunda ecuación sale de eliminar el parámetro $t$ en las paramétricas, sumando $y$ y $z$)*