Estudio de la compatibilidad de un sistema con parámetros

Para estudiar la compatibilidad del sistema, primero escribimos las ecuaciones en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ es la matriz ampliada. El sistema es: $$\left. \begin{array}{r} -x + 2y - 2z = 2 \\ 2x + y + z = m \\ x + 3y - z = m^2 \end{array} \right\}$$ Definimos las matrices: $$A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}, \quad A^* = \left( \begin{array}{ccc|c} -1 & 2 & -2 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & m \\ 1 & 3 & -1 & m^2 \end{array} \right)$$ 💡 **Tip:** Un sistema es compatible si el rango de la matriz de coeficientes ($A$) es igual al rango de la matriz ampliada ($A^*$), según el Teorema de Rouché-Frobenius.

Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus para determinar su rango: $$|A| = \begin{vmatrix} -1 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & -1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [(-1) \cdot 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 \cdot (-2)] - [1 \cdot 1 \cdot (-2) + 3 \cdot 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 2 \cdot (-1)]$$ $$|A| = [1 + 2 - 12] - [-2 - 3 - 4]$$ $$|A| = [-9] - [-9] = 0$$ Como el determinante es $0$, el rango de $A$ no es $3$. Buscamos un menor de orden $2$ distinto de cero: $$\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -1 - 4 = -5 \neq 0$$ Por lo tanto, **$\text{rang}(A) = 2$** independientemente del valor de $m$.

Para que el sistema sea compatible, por el Teorema de Rouché-Frobenius, se debe cumplir que $\text{rang}(A^*) = \text{rang}(A) = 2$. Esto significa que todos los menores de orden $3$ de la matriz ampliada $A^*$ deben ser nulos. Tomamos el menor formado por las columnas 1, 2 y 4 (la de los términos independientes): $$|M| = \begin{vmatrix} -1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & m \\ 1 & 3 & m^2 \end{vmatrix}$$ Aplicamos Sarrus: $$|M| = [(-1) \cdot 1 \cdot m^2 + 2 \cdot 3 \cdot 2 + 2 \cdot m \cdot 1] - [1 \cdot 1 \cdot 2 + 3 \cdot m \cdot (-1) + 2 \cdot 2 \cdot m^2]$$ $$|M| = [-m^2 + 12 + 2m] - [2 - 3m + 4m^2]$$ $$|M| = -m^2 + 2m + 12 - 2 + 3m - 4m^2$$ $$|M| = -5m^2 + 5m + 10$$ Para que $\text{rang}(A^*) = 2$, imponemos que $|M| = 0$: $$-5m^2 + 5m + 10 = 0$$

Resolvemos la ecuación de segundo grado $-5m^2 + 5m + 10 = 0$. Podemos simplificar dividiendo entre $-5$: $$m^2 - m - 2 = 0$$ Usamos la fórmula general: $$m = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1}$$ $$m = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$$ Esto nos da dos posibles valores: 1. $m = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$ 2. $m = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$ 💡 **Tip:** Si el rango de la matriz ampliada fuera $3$ y el de $A$ fuera $2$, el sistema sería incompatible. Al igualar el determinante de $A^*$ a cero, garantizamos que el rango no suba a $3$.

Aplicamos la conclusión final basada en el **Teorema de Rouché-Frobenius**: - Si **$m = 2$** o **$m = -1$**, entonces $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 2$. Como el número de incógnitas es $3$, el sistema es **Compatible Indeterminado** (infinitas soluciones). - Si $m \neq 2$ y $m \neq -1$, entonces $\text{rang}(A) = 2$ y $\text{rang}(A^*) = 3$, por lo que el sistema sería Incompatible. Por tanto, los valores de $m$ que hacen el sistema compatible son: $$\boxed{m = 2, \quad m = -1}$$ ✅ **Resultado final:** Los valores son $m = 2$ y $m = -1$.