Integral definida de una función logarítmica

Para resolver la integral $\int_0^1 x \ln(x + 1) dx$, observamos que tenemos un producto de una función polinómica ($x$) y una función logarítmica ($\ln(x+1)$). El método más adecuado para este tipo de productos es la **integración por partes**. Recordamos la fórmula de integración por partes: $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$ Siguiendo la regla nemotécnica **ALPES** (Arcos, Logaritmos, Potencias, Exponenciales, Seno/Coseno), elegimos: - $u = \ln(x + 1)$ - $dv = x \, dx$ Calculamos ahora $du$ derivando y $v$ integrando: - $du = \dfrac{1}{x + 1} dx$ - $v = \int x \, dx = \dfrac{x^2}{2}$ 💡 **Tip:** Al elegir $u = \ln(x+1)$, simplificamos la expresión al derivar, ya que desaparece el logaritmo.

Aplicamos la fórmula sustituyendo los valores obtenidos: $$\int x \ln(x + 1) dx = \frac{x^2}{2} \ln(x + 1) - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x + 1} dx$$ $$\int x \ln(x + 1) dx = \frac{x^2}{2} \ln(x + 1) - \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{x + 1} dx$$ Para resolver la integral indefinida resultante, primero calcularemos la primitiva y luego aplicaremos los límites de integración. $$\boxed{I = \left[ \frac{x^2}{2} \ln(x + 1) \right]_0^1 - \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{x^2}{x + 1} dx}$$

Para resolver $\int \frac{x^2}{x + 1} dx$, observamos que el grado del numerador es mayor que el del denominador, por lo que realizamos la **división de polinomios**: Dividimos $x^2$ entre $x+1$: - Cociente: $x - 1$ - Resto: $1$ Por tanto, podemos escribir la fracción como: $$\frac{x^2}{x + 1} = x - 1 + \frac{1}{x + 1}$$ Integramos término a término: $$\int \left( x - 1 + \frac{1}{x + 1} \right) dx = \frac{x^2}{2} - x + \ln|x + 1|$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\frac{\text{Dividendo}}{\text{Divisor}} = \text{Cociente} + \frac{\text{Resto}}{\text{Divisor}}$.

Sustituimos la integral racional en nuestra expresión original para obtener la primitiva $F(x)$: $$F(x) = \frac{x^2}{2} \ln(x + 1) - \frac{1}{2} \left( \frac{x^2}{2} - x + \ln(x + 1) \right)$$ $$F(x) = \frac{x^2}{2} \ln(x + 1) - \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \ln(x + 1)$$ Agrupando los términos con logaritmo: $$F(x) = \left( \frac{x^2 - 1}{2} \right) \ln(x + 1) - \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2}$$ $$\boxed{F(x) = \frac{x^2-1}{2} \ln(x + 1) - \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2}}$$

Finalmente, evaluamos la primitiva en los límites de integración $[0, 1]$ usando la **Regla de Barrow**: $$\int_0^1 x \ln(x + 1) dx = F(1) - F(0)$$ Calculamos $F(1)$: $$F(1) = \frac{1^2 - 1}{2} \ln(1 + 1) - \frac{1^2}{4} + \frac{1}{2} = 0 \cdot \ln(2) - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$ Calculamos $F(0)$: $$F(0) = \frac{0^2 - 1}{2} \ln(0 + 1) - \frac{0^2}{4} + \frac{0}{2} = -\frac{1}{2} \ln(1) - 0 + 0 = 0$$ Por tanto: $$\int_0^1 x \ln(x + 1) dx = \frac{1}{4} - 0 = \frac{1}{4}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int_0^1 x \ln(x + 1) dx = \frac{1}{4}}$$