Función a trozos: continuidad, derivabilidad y parámetros

**(a) [2 puntos] Determina $a, b$ y $c$ sabiendo que $f$ es continua en el intervalo cerrado $[0, 4]$, derivable en el intervalo abierto $(0, 4)$ y que $f(0) = f(4)$.** Para que la función sea continua en el intervalo cerrado $[0, 4]$, debe serlo en el punto de salto entre ramas, $x = 2$. Las ramas individuales son funciones polinómicas y, por tanto, continuas en sus respectivos dominios. Para que sea continua en $x = 2$, se debe cumplir que: $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2)$$ Calculamos los límites laterales: - Por la izquierda ($x \lt 2$): $\lim_{x \to 2^-} (x^2 + ax + b) = 4 + 2a + b$ - Por la derecha ($x \ge 2$): $\lim_{x \to 2^+} (cx + 1) = f(2) = 2c + 1$ Igualando ambas expresiones obtenemos nuestra primera ecuación: $$4 + 2a + b = 2c + 1 \implies 2a + b - 2c = -3 \quad \text{(Ecuación 1)}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que una función sea continua en un punto, el límite por la izquierda, por la derecha y el valor de la función en ese punto deben coincidir.

Para que la función sea derivable en $(0, 4)$, primero calculamos la derivada genérica en los intervalos abiertos: $$f'(x) = \begin{cases} 2x + a & \text{si } 0 \lt x \lt 2 \\ c & \text{si } 2 \lt x \lt 4 \end{cases}$$ Para que sea derivable en $x = 2$, las derivadas laterales deben coincidir: $$f'(2^-) = f'(2^+)$$ - Derivada por la izquierda: $f'(2^-) = 2(2) + a = 4 + a$ - Derivada por la derecha: $f'(2^+) = c$ Igualando obtenemos la segunda ecuación: $$4 + a = c \implies a - c = -4 \quad \text{(Ecuación 2)}$$ 💡 **Tip:** Antes de estudiar la derivabilidad de una función a trozos, es obligatorio haber comprobado o impuesto primero la condición de continuidad.

El enunciado nos indica que $f(0) = f(4)$. Aplicamos la definición de la función en cada extremo: - Para $f(0)$, usamos la primera rama: $f(0) = 0^2 + a(0) + b = b$ - Para $f(4)$, usamos la segunda rama: $f(4) = c(4) + 1 = 4c + 1$ Igualando ambas: $$b = 4c + 1 \quad \text{(Ecuación 3)}$$ Ya tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

Recopilamos las ecuaciones obtenidas: 1) $2a + b - 2c = -3$ 2) $a - c = -4 \implies a = c - 4$ 3) $b = 4c + 1$ Sustituimos la expresión de $a$ (de la ec. 2) y la de $b$ (de la ec. 3) en la primera ecuación: $$2(c - 4) + (4c + 1) - 2c = -3$$ $$2c - 8 + 4c + 1 - 2c = -3$$ $$4c - 7 = -3 \implies 4c = 4 \implies \mathbf{c = 1}$$ Ahora calculamos $a$ y $b$: - $a = c - 4 = 1 - 4 = -3 \implies \mathbf{a = -3}$ - $b = 4c + 1 = 4(1) + 1 = 5 \implies \mathbf{b = 5}$ ✅ **Resultado (valores de los parámetros):** $$\boxed{a = -3, \quad b = 5, \quad c = 1}$$

**(b) [0’5 puntos] ¿En qué punto del intervalo se anula la derivada de la función?** Con los valores hallados, la función y su derivada son: $$f(x) = \begin{cases} x^2 - 3x + 5 & \text{si } 0 \le x \lt 2 \\ x + 1 & \text{si } 2 \le x \le 4 \end{cases}$$ $$f'(x) = \begin{cases} 2x - 3 & \text{si } 0 \lt x \lt 2 \\ 1 & \text{si } 2 \le x \lt 4 \end{cases}$$ Buscamos el valor de $x$ tal que $f'(x) = 0$: 1. En la segunda rama ($2 \le x \lt 4$), $f'(x) = 1$, que nunca es cero. 2. En la primera rama ($0 \lt x \lt 2$): $$2x - 3 = 0 \implies 2x = 3 \implies x = 1.5$$ Como $x = 1.5$ pertenece al intervalo $(0, 2)$, es una solución válida. ✅ **Resultado (punto de anulación):** $$\boxed{x = 1.5 \text{ (ó } x = 3/2)}$$