Posición relativa de dos rectas y plano paralelo

**(a) [1 punto] Estudia la posición relativa de $r$ y $s$.** Para estudiar la posición relativa, primero extraemos un punto y un vector director de cada recta. **Para la recta $r$:** $$\begin{cases} x = 0 \\ 3y + z = 3 \end{cases}$$ Si fijamos $y = 0$, entonces $z = 3$. Así, un punto de $r$ es $P_r(0, 0, 3)$. Para el vector director $\vec{v}_r$, podemos hacer el producto vectorial de los vectores normales de los planos que definen la recta: $$\vec{v}_r = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(0) - \vec{j}(1) + \vec{k}(3) = (0, -1, 3).$$ Alternativamente, podemos usar $\vec{v}_r = (0, 1, -3)$ para evitar el signo negativo inicial. **Para la recta $s$:** $$\begin{cases} 2x - z = 3 \\ y = 0 \end{cases}$$ Si fijamos $x = 0$, entonces $z = -3$. Así, un punto de $s$ es $P_s(0, 0, -3)$. Para el vector director $\vec{v}_s$: $$\vec{v}_s = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}(1) - \vec{j}(0) + \vec{k}(2) = (1, 0, 2).$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta dada como intersección de dos planos $\pi_1$ y $\pi_2$ se puede obtener como $\vec{v} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2$. $$\boxed{r: \begin{cases} P_r(0, 0, 3) \\ \vec{v}_r(0, 1, -3) \end{cases} \quad s: \begin{cases} P_s(0, 0, -3) \\ \vec{v}_s(1, 0, 2) \end{cases}}$$

Primero comprobamos si los vectores directores son paralelos. $\vec{v}_r = (0, 1, -3)$ y $\vec{v}_s = (1, 0, 2)$ no son proporcionales (la primera componente de $\vec{v}_r$ es cero y la de $\vec{v}_s$ no), por lo que las rectas **no son paralelas ni coincidentes**. Calculamos el vector que une un punto de cada recta: $$\vec{P_r P_s} = P_s - P_r = (0-0, 0-0, -3-3) = (0, 0, -6).$$ Ahora estudiamos la dependencia lineal de los tres vectores $\{\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_r P_s}\}$ mediante el determinante de la matriz formada por ellos: $$\text{det}(\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_r P_s}) = \begin{vmatrix} 0 & 1 & -3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -6 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la tercera fila: $$\text{det} = -6 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -6 \cdot (0 - 1) = 6.$$ Como el determinante es distinto de cero ($\neq 0$), los tres vectores son linealmente independientes. Esto significa que las rectas están en planos diferentes y no se cortan. 💡 **Tip:** Si el determinante de $(\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_r P_s})$ es $0$, las rectas se cortan. Si es $\neq 0$, las rectas se cruzan. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cruzan}}$$

**(b) [1’5 puntos] Halla la ecuación general de un plano que contiene a $s$ y es paralelo a $r$.** Si un plano $\pi$ contiene a la recta $s$ y es paralelo a la recta $r$, entonces el plano tiene como vectores directores los vectores directores de ambas rectas: - $\vec{u} = \vec{v}_s = (1, 0, 2)$ - $\vec{v} = \vec{v}_r = (0, 1, -3)$ Además, como contiene a $s$, debe pasar por cualquier punto de $s$, por ejemplo, $P_s(0, 0, -3)$. El vector normal del plano $\vec{n}_\pi$ será el producto vectorial de estos dos vectores directores.

Calculamos el vector normal $\vec{n}_\pi = \vec{v}_s \times \vec{v}_r$ paso a paso: $$\vec{n}_\pi = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -3 \end{vmatrix}$$ Usando la regla de Sarrus o desarrollo por menores: $$\vec{n}_\pi = \vec{i} \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -3 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n}_\pi = \vec{i}(0 - 2) - \vec{j}(-3 - 0) + \vec{k}(1 - 0)$$ $$\vec{n}_\pi = -2\vec{i} + 3\vec{j} + \vec{k} \implies \vec{n}_\pi = (-2, 3, 1).$$ 💡 **Tip:** Puedes usar cualquier vector proporcional. Multiplicando por $-1$ tenemos $\vec{n}_\pi = (2, -3, -1)$, que suele ser más cómodo. $$\boxed{\vec{n}_\pi = (2, -3, -1)}$$

La ecuación general del plano es de la forma $Ax + By + Cz + D = 0$. Utilizando el vector normal $(2, -3, -1)$: $$2x - 3y - z + D = 0.$$ Como el plano contiene a la recta $s$, debe pasar por el punto $P_s(0, 0, -3)$. Sustituimos sus coordenadas para hallar $D$: $$2(0) - 3(0) - (-3) + D = 0$$ $$3 + D = 0 \implies D = -3.$$ Por tanto, la ecuación del plano es: $$2x - 3y - z - 3 = 0.$$ 💡 **Tip:** Siempre verifica que el punto utilizado satisface la ecuación final para evitar errores de cálculo. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{2x - 3y - z - 3 = 0}$$