Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**(a) [1’25 puntos] Determina el valor del parámetro $k$ para que sea incompatible.** En primer lugar, escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, identificando la matriz de coeficientes ($A$) y la matriz ampliada ($A^*$): $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & k & 1 \\ 1 & k+1 & k \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & \bigm| & 1 \\ 0 & k & 1 & \bigm| & 0 \\ 1 & k+1 & k & \bigm| & k+1 \end{pmatrix}$$ Para discutir el sistema según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, calcularemos el determinante de $A$ para ver cuándo su rango es máximo. 💡 **Tip:** Un sistema es incompatible si el rango de la matriz de coeficientes es distinto al rango de la matriz ampliada: $rg(A) \neq rg(A^*)$.

Calculamos $|A|$ aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & k & 1 \\ 1 & k+1 & k \end{vmatrix} = (1 \cdot k \cdot k) + (0 \cdot (k+1) \cdot 0) + (1 \cdot 1 \cdot 1) - (0 \cdot k \cdot 1) - (1 \cdot (k+1) \cdot 1) - (k \cdot 1 \cdot 0)$$ $$|A| = k^2 + 0 + 1 - 0 - (k+1) - 0 = k^2 + 1 - k - 1 = k^2 - k$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos de $k$: $$k^2 - k = 0 \implies k(k - 1) = 0$$ Las soluciones son **$k = 0$** y **$k = 1$**. 💡 **Tip:** Si el determinante es distinto de cero, el rango de $A$ es 3 y el sistema será compatible determinado.

Si **$k = 1$**, la matriz ampliada es: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & \bigm| & 1 \\ 0 & 1 & 1 & \bigm| & 0 \\ 1 & 2 & 1 & \bigm| & 2 \end{pmatrix}$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $rg(A) < 3$. Tomamos un menor de orden 2: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0 \implies rg(A) = 2$$ Estudiamos el rango de $A^*$ orlando con la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1 \cdot 2) + (0 \cdot 2 \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot 0) - (1 \cdot 1 \cdot 1) - (0 \cdot 1 \cdot 2) - (2 \cdot 2 \cdot 0) = 2 - 1 = 1 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 distinto de cero en $A^*$, entonces **$rg(A^*) = 3$**. Como $rg(A) = 2$ y $rg(A^*) = 3$, aplicando el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **incompatible**. ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{k = 1}$$ *(Nota: Si comprobásemos $k=0$, veríamos que $rg(A)=rg(A^*)=2$, siendo un sistema compatible indeterminado)*.

**(b) [1’25 puntos] Halla el valor del parámetro $k$ para que la solución del sistema tenga $z = 2$.** Para que el sistema tenga una solución única (o al menos una solución), el valor de $k$ debe ser tal que el sistema no sea incompatible. Consideramos el caso general donde el sistema es Compatible Determinado ($k \neq 0$ y $k \neq 1$). Usaremos la **Regla de Cramer** para expresar $z$ en función de $k$: $$z = \frac{|A_z|}{|A|}$$ Donde $|A_z|$ es el determinante de la matriz $A$ sustituyendo la tercera columna por los términos independientes: $$|A_z| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & k & 0 \\ 1 & k+1 & k+1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la segunda fila (que tiene dos ceros): $$|A_z| = k \cdot (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & k+1 \end{vmatrix} = k \cdot (1(k+1) - 1(1)) = k \cdot k = k^2$$ 💡 **Tip:** El desarrollo por los elementos de una fila o columna con ceros simplifica enormemente los cálculos de determinantes.

Sustituimos las expresiones obtenidas en la fórmula de $z$: $$z = \frac{k^2}{k^2 - k} = \frac{k^2}{k(k - 1)}$$ Simplificamos la fracción dividiendo numerador y denominador por $k$ (dado que $k \neq 0$ para que sea compatible determinado): $$z = \frac{k}{k - 1}$$ El enunciado nos pide que $z = 2$, por lo tanto: $$\frac{k}{k - 1} = 2$$ Resolvemos la ecuación: $$k = 2(k - 1) \implies k = 2k - 2 \implies -k = -2 \implies k = 2$$ Como para $k=2$ el sistema es Compatible Determinado ($|A| = 2^2 - 2 = 2 \neq 0$), la solución hallada es válida. ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{k = 2}$$