Área entre una función cúbica y una recta

**(a) [0’75 puntos] Determina los puntos de corte de las gráficas de $f$ y $g$.** Para hallar los puntos de corte entre las dos gráficas, igualamos las expresiones de ambas funciones: $$f(x) = g(x) \implies x^3 - 4x = 3x - 6$$ Agrupamos todos los términos en un miembro para obtener una ecuación polinómica de tercer grado: $$x^3 - 4x - 3x + 6 = 0$$ $$x^3 - 7x + 6 = 0$$ 💡 **Tip:** Los puntos de corte de dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ se obtienen resolviendo la ecuación $f(x) - g(x) = 0$.

Para resolver $x^3 - 7x + 6 = 0$, buscamos raíces enteras entre los divisores del término independiente ($6$), que son $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$. Probamos con $x = 1$: $$1^3 - 7(1) + 6 = 1 - 7 + 6 = 0$$ Como $x=1$ es raíz, aplicamos la regla de Ruffini para factorizar: $$\begin{array}{r|rrrr} & 1 & 0 & -7 & 6 \\ 1 & & 1 & 1 & -6 \\ \hline & 1 & 1 & -6 & 0 \end{array}$$ La ecuación queda como $(x-1)(x^2 + x - 6) = 0$. Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}$$ Esto nos da las soluciones $x = 2$ y $x = -3$. Las abscisas de los puntos de corte son $x_1 = -3$, $x_2 = 1$ y $x_3 = 2$.

Calculamos la ordenada $y$ para cada valor de $x$ sustituyendo en cualquiera de las funciones (usaremos $g(x) = 3x - 6$ por ser más sencilla): - Para $x = -3$: $g(-3) = 3(-3) - 6 = -9 - 6 = -15 \implies \mathbf{P_1(-3, -15)}$ - Para $x = 1$: $g(1) = 3(1) - 6 = 3 - 6 = -3 \implies \mathbf{P_2(1, -3)}$ - Para $x = 2$: $g(2) = 3(2) - 6 = 6 - 6 = 0 \implies \mathbf{P_3(2, 0)}$ ✅ **Resultado (puntos de corte):** $$\boxed{(-3, -15), (1, -3) \text{ y } (2, 0)}$$

**(b) [1’75 puntos] Calcula el área del recinto limitado por dichas gráficas.** El área del recinto limitado por dos funciones se calcula mediante la integral definida del valor absoluto de su diferencia. Como las funciones se cortan en $x = -3$, $x = 1$ y $x = 2$, el recinto está formado por dos regiones en los intervalos $[-3, 1]$ y $[1, 2]$. Definimos la función diferencia $h(x) = f(x) - g(x) = x^3 - 7x + 6$. El área total será: $$A = \int_{-3}^{1} |x^3 - 7x + 6| \, dx + \int_{1}^{2} |x^3 - 7x + 6| \, dx$$ 💡 **Tip:** Para evitar el valor absoluto, calculamos cada integral por separado y tomamos el valor absoluto del resultado final de cada una.

Calculamos primero la integral indefinida (primitiva) de $h(x)$: $$H(x) = \int (x^3 - 7x + 6) \, dx = \frac{x^4}{4} - \frac{7x^2}{2} + 6x$$ Usaremos esta función $H(x)$ para aplicar la Regla de Barrow en los siguientes pasos.

Para el intervalo $[-3, 1]$: $$A_1 = \int_{-3}^{1} (x^3 - 7x + 6) \, dx = H(1) - H(-3)$$ Calculamos los valores: $$H(1) = \frac{1^4}{4} - \frac{7(1)^2}{2} + 6(1) = \frac{1}{4} - \frac{7}{2} + 6 = \frac{1 - 14 + 24}{4} = \frac{11}{4}$$ $$H(-3) = \frac{(-3)^4}{4} - \frac{7(-3)^2}{2} + 6(-3) = \frac{81}{4} - \frac{63}{2} - 18 = \frac{81 - 126 - 72}{4} = -\frac{117}{4}$$ Luego: $$A_1 = \frac{11}{4} - \left( -\frac{117}{4} \right) = \frac{11 + 117}{4} = \frac{128}{4} = 32 \text{ u}^2$$

Para el intervalo $[1, 2]$: $$A_2 = \int_{1}^{2} (x^3 - 7x + 6) \, dx = H(2) - H(1)$$ Calculamos $H(2)$: $$H(2) = \frac{2^4}{4} - \frac{7(2)^2}{2} + 6(2) = \frac{16}{4} - \frac{28}{2} + 12 = 4 - 14 + 12 = 2$$ Luego: $$A_2 = 2 - \frac{11}{4} = \frac{8 - 11}{4} = -\frac{3}{4}$$ Como el área debe ser positiva, tomamos el valor absoluto: $|A_2| = \frac{3}{4} \text{ u}^2$.

Sumamos las áreas de las dos regiones obtenidas: $$A_{total} = A_1 + |A_2| = 32 + \frac{3}{4} = \frac{128 + 3}{4} = \frac{131}{4}$$ En valor decimal: $$A_{total} = 32,75 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado (área):** $$\boxed{A = \dfrac{131}{4} \text{ u}^2 = 32,75 \text{ u}^2}$$