Recta tangente en el punto de inflexión

Para encontrar el punto de inflexión y la pendiente de la recta tangente, necesitamos calcular la primera y segunda derivada de la función $f(x) = \frac{x + 1}{e^x}$. Derivamos utilizando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(x+1)' \cdot e^x - (x+1) \cdot (e^x)'}{(e^x)^2} = \frac{1 \cdot e^x - (x+1)e^x}{e^{2x}}$$ Simplificamos factorizando $e^x$ en el numerador: $$f'(x) = \frac{e^x(1 - (x + 1))}{e^{2x}} = \frac{1 - x - 1}{e^x} = \frac{-x}{e^x} = -xe^{-x}$$ Ahora calculamos la segunda derivada derivando $f'(x)$: $$f''(x) = \frac{(-x)' \cdot e^x - (-x) \cdot (e^x)'}{(e^x)^2} = \frac{-1 \cdot e^x + x e^x}{e^{2x}}$$ Simplificamos de nuevo: $$f''(x) = \frac{e^x(x - 1)}{e^{2x}} = \frac{x - 1}{e^x} = (x-1)e^{-x}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la regla del cociente es $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. En este caso, al ser el denominador una exponencial $e^x$, siempre podremos simplificar un factor $e^x$ al final. $$\boxed{f'(x) = \frac{-x}{e^x}, \quad f''(x) = \frac{x-1}{e^x}}$$

Los puntos de inflexión son aquellos donde la curvatura cambia y se anula la segunda derivada. Resolvemos $f''(x) = 0$: $$\frac{x - 1}{e^x} = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x = 1$$ Para confirmar que es un punto de inflexión, estudiamos el signo de $f''(x)$ a ambos lados de $x = 1$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 1) & 1 & (1, +\infty) \\\hline x-1 & - & 0 & + \\ e^x & + & + & + \\\hline f''(x) & - & 0 & + \end{array}$$ - En $(-\infty, 1)$, $f''(x) \lt 0$, la función es **cóncava hacia abajo** (convexa). - En $(1, +\infty)$, $f''(x) \gt 0$, la función es **cóncava hacia arriba** (cóncava). Al haber un cambio de signo en $x=1$, existe un **punto de inflexión**. Calculamos la ordenada del punto sustituyendo en $f(x)$: $$y_0 = f(1) = \frac{1 + 1}{e^1} = \frac{2}{e}$$ El punto de inflexión es $P\left(1, \frac{2}{e}\right)$. $$\boxed{P\left(1, \frac{2}{e}\right)}$$

La pendiente de la recta tangente en el punto de abscisa $x=1$ viene dada por el valor de la primera derivada en ese punto: $$m = f'(1) = \frac{-1}{e^1} = -\frac{1}{e}$$ Utilizamos la fórmula de la recta en forma punto-pendiente $y - y_0 = m(x - x_0)$ con el punto $P\left(1, \frac{2}{e}\right)$: $$y - \frac{2}{e} = -\frac{1}{e}(x - 1)$$ Operamos para dar la ecuación explícita: $$y = -\frac{1}{e}x + \frac{1}{e} + \frac{2}{e}$$ $$y = -\frac{1}{e}x + \frac{3}{e} \implies y = \frac{3 - x}{e}$$ 💡 **Tip:** La ecuación de la recta tangente en un punto $a$ es siempre $y - f(a) = f'(a)(x - a)$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{y = \frac{3 - x}{e}}$$