Cálculo de puntos en el eje OX conocido el área del triángulo

Para resolver el ejercicio, primero definimos las coordenadas del punto $C$. Puesto que el enunciado indica que $C$ se encuentra en el **eje $OX$**, sus coordenadas deben ser de la forma: $$C(x, 0, 0)$$ Para calcular el área del triángulo formado por $A(2, 1, 1)$, $B(0, 0, 1)$ y $C(x, 0, 0)$, utilizaremos el producto vectorial de dos vectores con origen en el mismo vértice (por ejemplo, el vértice $A$): 1. **Vector $\vec{AB}$**: $$\vec{AB} = B - A = (0 - 2, 0 - 1, 1 - 1) = (-2, -1, 0)$$ 2. **Vector $\vec{AC}$**: $$\vec{AC} = C - A = (x - 2, 0 - 1, 0 - 1) = (x - 2, -1, -1)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que cualquier punto situado sobre el eje de abscisas ($OX$) tiene sus componentes $y$ y $z$ nulas.

El área de un triángulo de vértices $A, B, C$ viene dada por la mitad del módulo del producto vectorial de los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$: $$\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$$ Calculamos primero el producto vectorial $\vec{w} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ mediante el determinante: $$\vec{w} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & -1 & 0 \\ x-2 & -1 & -1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus o por adjuntos de la primera fila: $$\vec{w} = \vec{i} \cdot [(-1) \cdot (-1) - 0 \cdot (-1)] - \vec{j} \cdot [(-2) \cdot (-1) - 0 \cdot (x-2)] + \vec{k} \cdot [(-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot (x-2)]$$ $$\vec{w} = \vec{i} (1) - \vec{j} (2) + \vec{k} (2 + x - 2)$$ $$\vec{w} = (1, -2, x)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial es un vector ortogonal a los dos vectores originales, y su módulo representa el área del paralelogramo que definen.

Calculamos ahora el módulo del vector resultante $|\vec{w}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + x^2}$: $$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{1 + 4 + x^2} = \sqrt{5 + x^2}$$ Según el enunciado, el área debe ser igual a 2, por lo que planteamos la ecuación: $$\text{Área} = \frac{1}{2} \sqrt{5 + x^2} = 2$$ Multiplicamos por 2 en ambos lados: $$\sqrt{5 + x^2} = 4$$ Elevamos al cuadrado para eliminar la raíz: $$5 + x^2 = 16$$ $$x^2 = 11$$ Esto nos da dos posibles valores para $x$: $$x = \sqrt{11} \quad y \quad x = -\sqrt{11}$$

Existen dos puntos en el eje $OX$ que cumplen la condición de que el área del triángulo $ABC$ sea 2. Estos puntos son: ✅ **Resultado:** $$\boxed{C_1(\sqrt{11}, 0, 0) \quad y \quad C_2(-\sqrt{11}, 0, 0)}$$