Discusión de sistemas y rango con parámetros

**(a) [1 punto] Halla los valores del parámetro $m$ para los que el rango de $A$ es menor que 3.** El rango de una matriz cuadrada de orden 3 es menor que 3 si y solo si su determinante es igual a cero ($|A| = 0$). Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ m & m^2 & m^2 \\ m & m & m^2 \end{vmatrix}$$ $$|A| = (1 \cdot m^2 \cdot m^2) + (1 \cdot m^2 \cdot m) + (1 \cdot m \cdot m) - (m \cdot m^2 \cdot 1) - (m \cdot m^2 \cdot 1) - (m^2 \cdot m \cdot 1)$$ Simplificamos la expresión: $$|A| = m^4 + m^3 + m^2 - (m^3 + m^3 + m^3)$$ $$|A| = m^4 + m^3 + m^2 - 3m^3$$ $$|A| = m^4 - 2m^3 + m^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para una matriz $n \times n$, $\text{rg}(A) < n \iff |A| = 0$.

Para que el rango sea menor que 3, igualamos el determinante a cero: $$m^4 - 2m^3 + m^2 = 0$$ Factorizamos la expresión extrayendo factor común $m^2$: $$m^2(m^2 - 2m + 1) = 0$$ Observamos que el paréntesis es una identidad notable $(m-1)^2$: $$m^2(m - 1)^2 = 0$$ De aquí obtenemos dos soluciones (ambas con multiplicidad 2): 1. $m^2 = 0 \implies m = 0$ 2. $(m - 1)^2 = 0 \implies m = 1$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{m = 0, \quad m = 1}$$

**(b) [1’5 puntos] Estudia si el sistema $A \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ tiene solución para cada uno de los valores de $m$ obtenidos en el apartado anterior.** **Caso $m = 0$:** Sustituimos $m = 0$ en la matriz ampliada del sistema $(A|B)$: $$(A|B) = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$ Analizamos los rangos: - El rango de $A$ es $\text{rg}(A) = 1$, ya que solo hay una fila no nula. - Para el rango de la matriz ampliada $(A|B)$, tomamos el menor formado por la primera columna y la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0 \implies \text{rg}(A|B) = 2$$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, como $\text{rg}(A) = 1 \neq \text{rg}(A|B) = 2$, el sistema es **Incompatible**. ✅ **Resultado para $m=0$:** $$\boxed{\text{No tiene solución (Sistema Incompatible)}}$$

**Caso $m = 1$:** Sustituimos $m = 1$ en la matriz ampliada del sistema $(A|B)$: $$(A|B) = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Analizamos los rangos: - Todas las filas son idénticas, por lo tanto: $$\text{rg}(A) = 1$$ $$\text{rg}(A|B) = 1$$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A|B) = 1$, pero el número de incógnitas es $n=3$, el sistema es **Compatible Indeterminado**. 💡 **Tip:** Un sistema tiene solución siempre que $\text{rg}(A) = \text{rg}(A|B)$. Si este rango es igual al número de incógnitas es Determinado, y si es menor es Indeterminado. ✅ **Resultado para $m=1$:** $$\boxed{\text{Sí tiene solución (Sistema Compatible Indeterminado)}}$$