Recta tangente y cálculo de área con función exponencial

**(a) [1 punto] Justifica que la recta de ecuación $y = -2ex$ es la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = -\frac{1}{2}$.** Para hallar la recta tangente a $f(x) = e^{-2x}$ en $x_0 = -\frac{1}{2}$, necesitamos dos elementos: 1. El punto de tangencia $(x_0, f(x_0))$. 2. La pendiente de la recta, que es la derivada en dicho punto, $m = f'(x_0)$. Calculamos la ordenada del punto: $$f\left(-\frac{1}{2}\right) = e^{-2\left(-\frac{1}{2}\right)} = e^1 = e$$ El punto de tangencia es $P\left(-\frac{1}{2}, e\right)$. Calculamos la función derivada: $$f'(x) = -2e^{-2x}$$ Calculamos la pendiente $m$: $$m = f'\left(-\frac{1}{2}\right) = -2e^{-2\left(-\frac{1}{2}\right)} = -2e^1 = -2e$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $e^{u(x)}$ es $u'(x)e^{u(x)}$. En este caso, la derivada del exponente $-2x$ es $-2$.

Aplicamos la fórmula de la recta tangente en un punto $(x_0, y_0)$: $$y - y_0 = m(x - x_0)$$ Sustituimos $x_0 = -\frac{1}{2}$, $y_0 = e$ y $m = -2e$: $$y - e = -2e\left(x - \left(-\frac{1}{2}\right)\right)$$ $$y - e = -2e\left(x + \frac{1}{2}\right)$$ Multiplicamos para simplificar: $$y - e = -2ex - \frac{2e}{2}$$ $$y - e = -2ex - e$$ $$y = -2ex - e + e$$ $$y = -2ex$$ Queda justificado que la recta tangente en dicho punto es, efectivamente, **$y = -2ex$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = -2ex}$$

**(b) [1’5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de $f$, el eje de ordenadas y la recta tangente del apartado anterior.** El recinto está delimitado por: 1. La función $f(x) = e^{-2x}$. 2. La recta tangente $y = -2ex$. 3. El eje de ordenadas, cuya ecuación es $x = 0$. Sabemos que la recta y la curva se cortan en el punto de tangencia $x = -\frac{1}{2}$. Por tanto, los límites de integración serán desde $x = -\frac{1}{2}$ hasta $x = 0$. Para saber qué función va por encima en el intervalo $\left(-\frac{1}{2}, 0\right)$, evaluamos en un punto intermedio, por ejemplo $x = -0.25$: - $f(-0.25) = e^{-2(-0.25)} = e^{0.5} \approx 1.649$ - Recta: $y = -2e(-0.25) = 0.5e \approx 1.359$ Como $f(x) > \text{recta}$, la función $f(x)$ es la función superior (techo) y la recta es la función inferior (suelo). 💡 **Tip:** El área entre dos funciones $g(x)$ y $h(x)$ en $[a,b]$ es $\int_a^b |g(x) - h(x)| dx$.

Planteamos la integral definida para el área $A$: $$A = \int_{-1/2}^{0} (e^{-2x} - (-2ex)) \, dx = \int_{-1/2}^{0} (e^{-2x} + 2ex) \, dx$$ Calculamos la primitiva: $$\int (e^{-2x} + 2ex) \, dx = \frac{e^{-2x}}{-2} + 2e \frac{x^2}{2} = -\frac{1}{2}e^{-2x} + ex^2$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$A = \left[ -\frac{1}{2}e^{-2x} + ex^2 \right]_{-1/2}^{0}$$ $$A = \left( -\frac{1}{2}e^{0} + e(0)^2 \right) - \left( -\frac{1}{2}e^{-2(-1/2)} + e\left(-\frac{1}{2}\right)^2 \right)$$ $$A = \left( -\frac{1}{2} \right) - \left( -\frac{1}{2}e + e\left(\frac{1}{4}\right) \right)$$ $$A = -\frac{1}{2} - \left( -\frac{1}{2}e + \frac{1}{4}e \right)$$ $$A = -\frac{1}{2} - \left( -\frac{1}{4}e \right) = \frac{e}{4} - \frac{1}{2} = \frac{e - 2}{4}$$ Calculando el valor aproximado: $$A \approx \frac{2.718 - 2}{4} = \frac{0.718}{4} \approx 0.1795 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = \dfrac{e-2}{4} \text{ unidades}^2}$$