Optimización de la diagonal de un rectángulo

Sea $x$ la longitud de la base e $y$ la longitud de la altura del rectángulo (ambas en $\text{cm}$). El enunciado nos indica que el perímetro es de $8\text{ cm}$, por lo que: $$2x + 2y = 8 \implies x + y = 4$$ De aquí podemos despejar una variable en función de la otra para trabajar con una sola variable: $$y = 4 - x$$ Como las dimensiones deben ser positivas, tenemos las restricciones: - $x \gt 0$ - $y \gt 0 \implies 4 - x \gt 0 \implies x \lt 4$ Por tanto, el dominio de nuestra función será el intervalo abierto $(0, 4)$. 💡 **Tip:** En problemas de optimización geométrica, siempre es útil identificar la relación entre variables (perímetro en este caso) para reducir la función objetivo a una sola variable.

Queremos minimizar la longitud de la diagonal $d$. Según el Teorema de Pitágoras: $$d = \sqrt{x^2 + y^2}$$ Sustituimos $y = 4 - x$ en la expresión: $$d(x) = \sqrt{x^2 + (4 - x)^2} = \sqrt{x^2 + 16 - 8x + x^2} = \sqrt{2x^2 - 8x + 16}$$ Para facilitar los cálculos, en lugar de minimizar $d(x)$, podemos minimizar su cuadrado, $f(x) = [d(x)]^2$, ya que el valor de $x$ que minimiza el cuadrado de una función positiva también minimiza la función original: $$f(x) = 2x^2 - 8x + 16$$ 💡 **Tip:** Minimizar $f(x) = g(x)^2$ es equivalente a minimizar $g(x)$ siempre que $g(x) \ge 0$, lo cual simplifica mucho las derivadas al evitar la raíz cuadrada.

Para hallar los extremos relativos, calculamos la primera derivada de $f(x)$ e igualamos a cero: $$f'(x) = 4x - 8$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$4x - 8 = 0 \implies 4x = 8 \implies x = 2$$ El valor $x = 2$ pertenece al dominio $(0, 4)$, por lo que es un candidato a mínimo.

Estudiamos el signo de $f'(x)$ alrededor de $x = 2$ para confirmar que se trata de un mínimo relativo: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 2) & 2 & (2, 4) \\\hline f'(x) = 4x - 8 & - & 0 & + \\\hline f(x) & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ - En el intervalo $(0, 2)$, $f'(x) \lt 0$, luego la función es decreciente. - En el intervalo $(2, 4)$, $f'(x) \gt 0$, luego la función es creciente. También podemos usar la segunda derivada: $$f''(x) = 4$$ Como $f''(2) = 4 \gt 0$, se confirma que en $x = 2$ hay un **mínimo relativo**. 💡 **Tip:** La prueba de la segunda derivada es muy rápida cuando la derivada es un polinomio sencillo. Si $f''(a) \gt 0$, hay un mínimo.

Una vez hallado el valor de $x$, calculamos el valor de $y$: $$y = 4 - x = 4 - 2 = 2$$ Por tanto, las dimensiones del rectángulo de diagonal mínima son una base de $2\text{ cm}$ y una altura de $2\text{ cm}$. Se trata de un cuadrado. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Base } x = 2\text{ cm, Altura } y = 2\text{ cm}}$$