Planos definidos por una recta y el origen

Para resolver ambos apartados, primero debemos extraer un punto y el vector director de la recta $r$ dada en su forma continua: $$\frac{x - x_0}{v_x} = \frac{y - y_0}{v_y} = \frac{z - z_0}{v_z}$$ De la ecuación $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 2}{1}$ obtenemos: - Un punto de la recta: $P_r(1, -1, 2)$ - El vector director de la recta: $\vec{v_r} = (2, 3, 1)$ Además, el enunciado nos indica que ambos planos pasan por el origen de coordenadas: $O(0, 0, 0)$.

**(a) [1’25 puntos] Halla la ecuación del plano que pasa por el origen y contiene a $r$.** Si el plano $\pi_1$ contiene a la recta $r$ y al punto $O$, sus vectores directores serán: 1. El propio vector director de la recta: $\vec{v_r} = (2, 3, 1)$. 2. El vector que une el origen con el punto $P_r$ de la recta: $\vec{OP_r} = (1-0, -1-0, 2-0) = (1, -1, 2)$. Para hallar la ecuación general del plano $Ax + By + Cz + D = 0$, calculamos el vector normal $\vec{n_1}$ mediante el producto vectorial de sus vectores directores: $$\vec{n_1} = \vec{v_r} \times \vec{OP_r} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{n_1} = \vec{i}(3 \cdot 2) + \vec{j}(1 \cdot 1) + \vec{k}(2 \cdot (-1)) - [\vec{k}(3 \cdot 1) + \vec{i}(1 \cdot (-1)) + \vec{j}(2 \cdot 2)]$$ $$\vec{n_1} = (6\vec{i} + \vec{j} - 2\vec{k}) - (3\vec{k} - \vec{i} + 4\vec{j}) = 7\vec{i} - 3\vec{j} - 5\vec{k}$$ El vector normal es $\vec{n_1} = (7, -3, -5)$. 💡 **Tip:** Si un plano contiene a una recta, el vector director de la recta es paralelo al plano y el vector normal del plano es perpendicular a dicho vector director.

Utilizamos el vector normal $(7, -3, -5)$ y el hecho de que el plano pasa por $O(0,0,0)$: $$7(x - 0) - 3(y - 0) - 5(z - 0) = 0$$ $$7x - 3y - 5z = 0$$ Alternativamente, podríamos haber multiplicado por $-1$ obteniendo $-7x + 3y + 5z = 0$, que es la misma solución. ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{7x - 3y - 5z = 0}$$

**(b) [1’25 puntos] Halla la ecuación del plano que pasa por el origen y es perpendicular a $r$.** Si el plano $\pi_2$ es perpendicular a la recta $r$, el vector director de la recta será el vector normal del plano: $$\vec{n_2} = \vec{v_r} = (2, 3, 1)$$ La ecuación de un plano con vector normal $(A, B, C)$ es $Ax + By + Cz + D = 0$. Sustituimos las coordenadas del vector: $$2x + 3y + z + D = 0$$ Como el plano pasa por el origen $O(0, 0, 0)$, sustituimos el punto para hallar $D$: $$2(0) + 3(0) + 1(0) + D = 0 \implies D = 0$$ 💡 **Tip:** Cuando un plano pasa por el origen, el término independiente $D$ de su ecuación general siempre es cero. ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{2x + 3y + z = 0}$$