Sistema de ecuaciones: Reparto de billetes en cajero

Para resolver este problema, lo primero es definir las incógnitas que representan las cantidades de billetes de cada tipo: - $x$: número de billetes de $10\,€$. - $y$: número de billetes de $20\,€$. - $z$: número de billetes de $50\,€$. A partir del enunciado, establecemos las ecuaciones generales basándonos en el total de billetes y el importe total: 1. **Total de billetes:** $x + y + z = 130$ 2. **Importe total:** $10x + 20y + 50z = 3000$ Podemos simplificar la segunda ecuación dividiendo todo entre $10$: $$x + 2y + 5z = 300$$ 💡 **Tip:** Simplificar las ecuaciones siempre que sea posible facilita enormemente los cálculos posteriores y reduce la probabilidad de cometer errores aritméticos.

**(a) [1’25 puntos] ¿Es posible que en el cajero haya el triple número de billetes de 10 que de 50?** Se nos plantea una nueva condición: el número de billetes de $10\,€$ es el triple que el de $50\,€$. Esto se traduce en la ecuación: $$x = 3z$$ Sustituimos esta condición en las dos ecuaciones generales del paso anterior: 1. $(3z) + y + z = 130 \implies y + 4z = 130$ 2. $(3z) + 2y + 5z = 300 \implies 2y + 8z = 300$ Si dividimos la segunda ecuación resultante entre $2$, obtenemos: $$y + 4z = 150$$ Observamos que el sistema resultante es: $$\begin{cases} y + 4z = 130 \\ y + 4z = 150 \end{cases}$$ Esto es una **contradicción** ($130 \neq 150$), lo que significa que el sistema es incompatible. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No es posible que haya el triple de billetes de 10 que de 50.}}$$

**(b) [1’25 puntos] Suponiendo que el número de billetes de 10 es el doble que el número de billetes de 50, calcula cuantos billetes hay de cada tipo.** Ahora la nueva condición es que el número de billetes de $10\,€$ es el doble que el de $50\,€$: $$x = 2z$$ Volvemos a sustituir esta condición en nuestro sistema original simplificado: 1. $(2z) + y + z = 130 \implies y + 3z = 130$ 2. $(2z) + 2y + 5z = 300 \implies 2y + 7z = 300$ 💡 **Tip:** Al tener una variable despejada ($x$ en función de $z$), el método de sustitución es el más directo para reducir el sistema a dos incógnitas.

Resolvemos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas formado en el paso anterior: $$\begin{cases} y + 3z = 130 \quad \text{(I)} \\ 2y + 7z = 300 \quad \text{(II)} \end{cases}$$ Despejamos $y$ de la ecuación (I): $$y = 130 - 3z$$ Sustituimos en la ecuación (II): $$2(130 - 3z) + 7z = 300$$ $$260 - 6z + 7z = 300$$ $$z = 300 - 260$$ $$\mathbf{z = 40}$$ Ahora calculamos $y$ y $x$: $$y = 130 - 3(40) = 130 - 120 \implies \mathbf{y = 10}$$ $$x = 2z = 2(40) \implies \mathbf{x = 80}$$ Comprobación: - Billetes: $80 + 10 + 40 = 130$ (Correcto) - Dinero: $80(10) + 10(20) + 40(50) = 800 + 200 + 2000 = 3000$ (Correcto) ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Hay 80 billetes de 10 €; 10 billetes de 20 € y 40 billetes de 50 €.}}$$