Cálculo de una integral racional definida

Para resolver esta integral racional, el primer paso es descomponer el denominador en factores simples para facilitar la integración por fracciones parciales. El denominador es $(x^2 - x)(x - 1)$. Extraemos factor común $x$ en el primer paréntesis: $$(x^2 - x) = x(x - 1)$$ Sustituyendo en la expresión original: $$(x^2 - x)(x - 1) = x(x - 1)(x - 1) = x(x - 1)^2$$ Observamos que tenemos una raíz real simple ($x=0$) y una raíz real con multiplicidad 2 ($x=1$). 💡 **Tip:** Antes de integrar una función racional, asegúrate de que el grado del numerador sea menor que el del denominador. Si no es así, deberás realizar primero la división de polinomios.

Planteamos la descomposición de la fracción original en una suma de fracciones más sencillas: $$\frac{1}{x(x - 1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2}$$ Para hallar los coeficientes $A, B$ y $C$, multiplicamos toda la ecuación por el denominador común $x(x-1)^2$: $$1 = A(x-1)^2 + Bx(x-1) + Cx$$ Ahora, damos valores estratégicos a $x$ para simplificar la búsqueda de las constantes: - Si $x = 0$: $$1 = A(0-1)^2 + B(0)(0-1) + C(0) \implies 1 = A(1) \implies \mathbf{A = 1}$$ - Si $x = 1$: $$1 = A(1-1)^2 + B(1)(1-1) + C(1) \implies 1 = C \implies \mathbf{C = 1}$$ - Si $x = 2$ (o cualquier otro valor para hallar $B$): $$1 = 1(2-1)^2 + B(2)(2-1) + 1(2)$$ $$1 = 1 + 2B + 2 \implies 1 = 3 + 2B \implies -2 = 2B \implies \mathbf{B = -1}$$ Por tanto, la fracción se descompone como: $$\frac{1}{x(x - 1)^2} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x-1} + \frac{1}{(x-1)^2}$$

Calculamos la integral indefinida integrando cada término por separado: $$I = \int \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x-1} + \frac{1}{(x-1)^2} \right) dx$$ Aplicamos la linealidad de la integral: $$I = \int \frac{1}{x} dx - \int \frac{1}{x-1} dx + \int (x-1)^{-2} dx$$ Las integrales de los dos primeros términos son logaritmos inmediatos, y la tercera es una potencia: $$I = \ln|x| - \ln|x-1| + \frac{(x-1)^{-1}}{-1} = \ln|x| - \ln|x-1| - \frac{1}{x-1}$$ Podemos agrupar los logaritmos utilizando sus propiedades: $$F(x) = \ln\left| \frac{x}{x-1} \right| - \frac{1}{x-1}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int \frac{1}{x+a} dx = \ln|x+a|$ y que $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1}$ para $n \neq -1$.

Para resolver la integral definida entre $-2$ y $-1$, evaluamos la primitiva $F(x)$ en los límites de integración: $$\int_{-2}^{-1} \frac{dx}{x(x - 1)^2} = \left[ \ln\left| \frac{x}{x-1} \right| - \frac{1}{x-1} \right]_{-2}^{-1}$$ Evaluamos en el límite superior ($x = -1$): $$F(-1) = \ln\left| \frac{-1}{-1-1} \right| - \frac{1}{-1-1} = \ln\left( \frac{1}{2} \right) - \left( -\frac{1}{2} \right) = \ln 1 - \ln 2 + \frac{1}{2} = -\ln 2 + \frac{1}{2}$$ Evaluamos en el límite inferior ($x = -2$): $$F(-2) = \ln\left| \frac{-2}{-2-1} \right| - \frac{1}{-2-1} = \ln\left( \frac{2}{3} \right) - \left( -\frac{1}{3} \right) = \ln 2 - \ln 3 + \frac{1}{3}$$ Restamos ambos valores: $$I = \left( -\ln 2 + \frac{1}{2} \right) - \left( \ln 2 - \ln 3 + \frac{1}{3} \right)$$ $$I = -\ln 2 + \frac{1}{2} - \ln 2 + \ln 3 - \frac{1}{3}$$ $$I = \ln 3 - 2\ln 2 + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = \ln 3 - \ln 4 + \frac{3-2}{6}$$ $$I = \ln\left(\frac{3}{4}\right) + \frac{1}{6}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\ln\left(\frac{3}{4}\right) + \frac{1}{6}}$$ *Nota: El resultado es aproximadamente $-0.121$, lo cual tiene sentido ya que la función en el intervalo $[-2, -1]$ es negativa.*