Estudio de asíntotas de una función exponencial

Para determinar las asíntotas, primero identificamos el dominio de la función. La función $f(x) = x e^{\frac{1}{x}}$ está definida para todo valor que no anule el denominador del exponente. $$Dom(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\}$$ El punto candidato a **asíntota vertical** es $x = 0$. Calculamos los límites laterales: 1. **Por la derecha ($x \to 0^+$):** $$\lim_{x \to 0^+} x e^{\frac{1}{x}} = [0 \cdot e^{\infty}] = [0 \cdot \infty]$$ Para resolver esta indeterminación, reescribimos la expresión y aplicamos la **regla de L'Hôpital**: $$\lim_{x \to 0^+} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x}} = \left[ \frac{\infty}{\infty} \right] = \lim_{x \to 0^+} \frac{e^{\frac{1}{x}} \cdot (-\frac{1}{x^2})}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to 0^+} e^{\frac{1}{x}} = e^{\infty} = +\infty$$ 2. **Por la izquierda ($x \to 0^-$):** $$\lim_{x \to 0^-} x e^{\frac{1}{x}} = [0 \cdot e^{-\infty}] = [0 \cdot 0] = 0$$ Como al menos uno de los límites laterales es infinito, existe una asíntota vertical. 💡 **Tip:** Recuerda que para que exista una asíntota vertical en $x=a$, basta con que uno de los límites laterales tienda a $\pm\infty$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Asíntota Vertical: } x = 0}$$

Las asíntotas horizontales existen si el límite de la función cuando $x \to \pm\infty$ es un valor finito $L$. Calculamos los límites en el infinito: $$\lim_{x \to +\infty} x e^{\frac{1}{x}} = [+\infty \cdot e^0] = [+\infty \cdot 1] = +\infty$$ $$\lim_{x \to -\infty} x e^{\frac{1}{x}} = [-\infty \cdot e^0] = [-\infty \cdot 1] = -\infty$$ Al ser ambos límites infinitos, concluimos que **no existen asíntotas horizontales**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No hay asíntotas horizontales}}$$

Dado que no hay asíntotas horizontales, buscamos asíntotas oblicuas de la forma $y = mx + n$. **1. Cálculo de la pendiente $m$:** $$m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x e^{\frac{1}{x}}}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} e^{\frac{1}{x}} = e^0 = 1$$ **2. Cálculo de la ordenada en el origen $n$:** $$n = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \pm\infty} (x e^{\frac{1}{x}} - x) = \lim_{x \to \pm\infty} x(e^{\frac{1}{x}} - 1) = [\infty \cdot 0]$$ Transformamos la expresión para aplicar **L'Hôpital**: $$n = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{e^{\frac{1}{x}} - 1}{\frac{1}{x}} = \left[ \frac{0}{0} \right]$$ Derivamos numerador y denominador: $$n = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{e^{\frac{1}{x}} \cdot (-\frac{1}{x^2})}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to \pm\infty} e^{\frac{1}{x}} = e^0 = 1$$ Por tanto, la recta es $y = 1x + 1$. 💡 **Tip:** Si al calcular $m$ obtienes un valor real no nulo y al calcular $n$ obtienes un valor real, la función tiene una asíntota oblicua. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Asíntota Oblicua: } y = x + 1}$$