Alineación de puntos, área de un triángulo y plano perpendicular

**(a) [1’5 puntos] Comprueba que no están alineados y calcula el área del triángulo que determinan.** Tres puntos $A, B$ y $C$ no están alineados si los vectores que forman no son proporcionales (no tienen la misma dirección). Calculamos primero los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$: $$\vec{AB} = B - A = (1-1, 1-1, 2-0) = (0, 0, 2)$$ $$\vec{AC} = C - A = (1-1, -1-1, 1-0) = (0, -2, 1)$$ Comprobamos si existe un escalar $k$ tal que $\vec{AB} = k \cdot \vec{AC}$: $$(0, 0, 2) = k \cdot (0, -2, 1) \implies \begin{cases} 0 = k \cdot 0 \\ 0 = k \cdot (-2) \implies k = 0 \\ 2 = k \cdot 1 \implies k = 2 \end{cases}$$ Como obtenemos valores distintos para $k$ ($0$ y $2$), los componentes no son proporcionales. Por tanto, los vectores no tienen la misma dirección y **los puntos $A, B$ y $C$ no están alineados**. 💡 **Tip:** Si tres puntos están alineados, el área del triángulo que forman es $0$. También puedes comprobarlo viendo que el producto vectorial no es el vector nulo.

Para hallar el área del triángulo determinado por los puntos $A, B$ y $C$, usamos la fórmula basada en el producto vectorial: $$\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$$ Calculamos el producto vectorial $\vec{AB} \times \vec{AC}$ mediante un determinante resuelto por Sarrus: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & -2 & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollando: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = [ (0 \cdot 1) \vec{i} + (2 \cdot 0) \vec{j} + (0 \cdot (-2)) \vec{k} ] - [ (0 \cdot 0) \vec{k} + ((-2) \cdot 2) \vec{i} + (1 \cdot 0) \vec{j} ]$$ $$\vec{AB} \times \vec{AC} = (0\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}) - (0\vec{k} - 4\vec{i} + 0\vec{j}) = 4\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}$$ $$\vec{AB} \times \vec{AC} = (4, 0, 0)$$ 💡 **Tip:** En el producto vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$, el resultado es un vector perpendicular a ambos.

Calculamos ahora el módulo del vector resultante: $$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$$ Aplicamos la fórmula del área: $$\text{Área} = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Los puntos no están alineados y el área es } 2 \text{ unidades cuadradas.}}$$

**(b) [1 punto] Halla la ecuación del plano que contiene al punto $A$ y es perpendicular a la recta determinada por $B$ y $C$.** Si el plano $\pi$ es perpendicular a la recta que pasa por $B$ y $C$, el vector director de dicha recta, $\vec{BC}$, será el vector normal del plano ($\vec{n}_\pi$). Calculamos el vector $\vec{BC}$: $$\vec{BC} = C - B = (1-1, -1-1, 1-2) = (0, -2, -1)$$ Podemos tomar como vector normal $\vec{n}_\pi = (0, 2, 1)$ para simplificar los signos. 💡 **Tip:** Si una recta es perpendicular a un plano, el vector director de la recta y el vector normal del plano son paralelos.

La ecuación general de un plano es $Ax + By + Cz + D = 0$, donde $(A, B, C)$ son las componentes del vector normal. Sustituimos el vector $\vec{n}_\pi = (0, 2, 1)$: $$0x + 2y + 1z + D = 0 \implies 2y + z + D = 0$$ Como el plano contiene al punto $A(1, 1, 0)$, este debe satisfacer la ecuación: $$2(1) + (0) + D = 0 \implies 2 + D = 0 \implies D = -2$$ Sustituimos $D$ en la ecuación: $$2y + z - 2 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{2y + z - 2 = 0}$$