Sistemas de ecuaciones dependientes y condiciones de suma

**(a) [1’25 puntos] Determina el valor de $a$.** El sistema inicial tiene 2 ecuaciones y 3 incógnitas. Como las filas no son proporcionales, el rango de la matriz de coeficientes es 2, lo que significa que el sistema es **compatible indeterminado** (tiene infinitas soluciones que forman una recta en el espacio). Para que al añadir una tercera ecuación el sistema siga teniendo las mismas soluciones, la nueva ecuación debe ser **redundante**; es decir, debe ser una combinación lineal de las dos anteriores. Esto implica que el rango de la nueva matriz de coeficientes $A$ y de la matriz ampliada $A^*$ debe seguir siendo 2. $$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \\ a & 7 & 7 \end{pmatrix}$$ Para que $Rank(A) = 2$, el determinante de $A$ debe ser igual a cero. 💡 **Tip:** Si una ecuación es combinación lineal de otras, no aporta información nueva y el conjunto de soluciones no varía.

Calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus e igualamos a cero: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \\ a & 7 & 7 \end{vmatrix} = [2 \cdot 2 \cdot 7 + (-1) \cdot (-1) \cdot a + 3 \cdot 1 \cdot 7] - [a \cdot 2 \cdot 3 + 7 \cdot (-1) \cdot 2 + 7 \cdot 1 \cdot (-1)]$$ Operamos paso a paso: $$|A| = [28 + a + 21] - [6a - 14 - 7]$$ $$|A| = (49 + a) - (6a - 21)$$ $$|A| = 49 + a - 6a + 21 = 70 - 5a$$ Igualamos a cero para que las filas sean dependientes: $$70 - 5a = 0 \implies 5a = 70 \implies a = \frac{70}{5} = 14$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 14}$$

**(b) [1’25 puntos] Calcula la solución del sistema inicial de dos ecuaciones, de manera que la suma de los valores de las incógnitas sea igual a la unidad.** Primero resolvemos el sistema de dos ecuaciones expresando dos incógnitas en función de la tercera (paramatrización). Sea $z = \lambda$: $$\begin{cases} 2x - y = 1 - 3\lambda \\ x + 2y = 2 + \lambda \end{cases}$$ Multiplicamos la primera ecuación por 2 para eliminar la $y$ por reducción: $$\begin{cases} 4x - 2y = 2 - 6\lambda \\ x + 2y = 2 + \lambda \end{cases}$$ Sumamos ambas ecuaciones: $$5x = 4 - 5\lambda \implies x = \frac{4 - 5\lambda}{5} = 0,8 - \lambda$$ Sustituimos $x$ en la segunda ecuación original: $$(0,8 - \lambda) + 2y = 2 + \lambda \implies 2y = 2 + \lambda - 0,8 + \lambda$$ $$2y = 1,2 + 2\lambda \implies y = 0,6 + \lambda$$ La solución general es: $(x, y, z) = (0,8 - \lambda, \; 0,6 + \lambda, \; \lambda)$.

El enunciado nos pide la solución tal que $x + y + z = 1$. Sustituimos nuestras expresiones en función de $\lambda$: $$(0,8 - \lambda) + (0,6 + \lambda) + \lambda = 1$$ Simplificamos la ecuación: $$0,8 + 0,6 + \lambda = 1$$ $$1,4 + \lambda = 1 \implies \lambda = 1 - 1,4 = -0,4$$ Ahora calculamos los valores concretos de $x, y, z$: - $x = 0,8 - (-0,4) = 0,8 + 0,4 = 1,2$ - $y = 0,6 + (-0,4) = 0,6 - 0,4 = 0,2$ - $z = -0,4$ 💡 **Tip:** Siempre conviene comprobar que la solución obtenida cumple las ecuaciones originales: $2(1,2) - 0,2 + 3(-0,4) = 2,4 - 0,2 - 1,2 = 1$ (Correcto). $1,2 + 2(0,2) - (-0,4) = 1,2 + 0,4 + 0,4 = 2$ (Correcto). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = 1,2, \quad y = 0,2, \quad z = -0,4}$$