Área del recinto limitado por una parábola y una recta

**(a) [0’5 puntos] Esboza las gráficas de $f$ y $g$.** Analizamos las características principales de ambas funciones para representarlas: 1. **Función $f(x) = x^2 - 1$**: Es una parábola con las siguientes propiedades: - Se abre hacia arriba (coeficiente de $x^2$ positivo). - El **vértice** se encuentra en $x_v = \frac{-b}{2a} = 0$, por lo que el vértice es $V(0, -1)$. - **Puntos de corte con el eje $X$**: $x^2 - 1 = 0 \implies x = \pm 1$. Puntos $(1, 0)$ y $(-1, 0)$. 2. **Función $g(x) = 2x + 2$**: Es una recta con las siguientes propiedades: - **Pendiente** $m = 2$ (creciente). - **Punto de corte con el eje $Y$**: $g(0) = 2$, punto $(0, 2)$. - **Punto de corte con el eje $X$**: $2x + 2 = 0 \implies x = -1$, punto $(-1, 0)$. 💡 **Tip:** Para representar una parábola, localiza siempre el vértice y los puntos de corte con los ejes. Para una recta, basta con dos puntos. En el siguiente gráfico se muestra la región delimitada por ambas funciones:

**(b) [2 puntos] Calcula el área del recinto limitado por dichas gráficas.** Primero debemos encontrar los puntos donde las funciones se intersectan igualando sus expresiones: $$f(x) = g(x) \implies x^2 - 1 = 2x + 2$$ Reordenamos para obtener una ecuación de segundo grado: $$x^2 - 2x - 3 = 0$$ Resolvemos mediante la fórmula general: $$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}$$ Obtenemos dos soluciones: - $x_1 = \frac{6}{2} = 3$ - $x_2 = \frac{-2}{2} = -1$ Los límites de integración para el área serán **$x = -1$ y $x = 3$**. $$\boxed{x = -1, \quad x = 3}$$

Para calcular el área, debemos determinar qué función queda por encima en el intervalo $(-1, 3)$. Elegimos un punto de prueba, por ejemplo $x = 0$: - $f(0) = 0^2 - 1 = -1$ - $g(0) = 2(0) + 2 = 2$ Como $g(0) \gt f(0)$, la recta $g(x)$ está por encima de la parábola $f(x)$ en el intervalo de integración. El área $A$ es: $$A = \int_{-1}^{3} [g(x) - f(x)] \, dx$$ Sustituimos las funciones: $$A = \int_{-1}^{3} [2x + 2 - (x^2 - 1)] \, dx = \int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) \, dx$$ 💡 **Tip:** El área entre dos curvas siempre es la integral de la función "techo" menos la función "suelo" para que el resultado sea positivo.

Calculamos la primitiva de la función: $$\int (-x^2 + 2x + 3) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x \right]$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** evaluando en los límites $3$ y $-1$: $$A = \left( -\frac{3^3}{3} + 3^2 + 3(3) \right) - \left( -\frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 3(-1) \right)$$ Calculamos cada término por separado: - Para $x = 3$: $(-9 + 9 + 9) = 9$ - Para $x = -1$: $\left( \frac{1}{3} + 1 - 3 \right) = \left( \frac{1}{3} - 2 \right) = \frac{1-6}{3} = -\frac{5}{3}$ Restamos los resultados: $$A = 9 - \left( -\frac{5}{3} \right) = 9 + \frac{5}{3} = \frac{27 + 5}{3} = \frac{32}{3}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la Regla de Barrow dice: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = \frac{32}{3} \text{ u}^2 \approx 10.67 \text{ u}^2}$$