Optimización: Triángulo de área mínima

Buscamos una recta que pase por el punto $P(1, 2)$. Utilizaremos la ecuación en forma punto-pendiente: $$y - y_0 = m(x - x_0)$$ Sustituyendo el punto $(1, 2)$: $$y - 2 = m(x - 1)$$ Para que la recta forme un triángulo con las partes **positivas** de los ejes, la pendiente $m$ debe ser negativa ($m \lt 0$). Despejando $y$, la ecuación de la familia de rectas es: $$y = mx - m + 2$$ 💡 **Tip:** La pendiente $m$ debe ser negativa porque si fuera positiva o cero, la recta no podría cortar simultáneamente a ambos semiejes positivos.

El triángulo está delimitado por el origen $(0,0)$ y los puntos de corte de la recta con los ejes coordenados. **Corte con el eje $X$ ($y=0$):** $$0 = m(x - 1) + 2 \implies -2 = m(x - 1) \implies x - 1 = -\frac{2}{m} \implies x = 1 - \frac{2}{m}$$ Llamaremos a la base del triángulo $a = 1 - \dfrac{2}{m}$. **Corte con el eje $Y$ ($x=0$):** $$y = m(0 - 1) + 2 \implies y = -m + 2$$ Llamaremos a la altura del triángulo $b = 2 - m$. 💡 **Tip:** Como $m \lt 0$, tanto $a$ como $b$ serán valores positivos, asegurando que estamos en el primer cuadrante.

El área de un triángulo rectángulo es $A = \dfrac{\text{base} \cdot \text{altura}}{2}$. Sustituimos $a$ y $b$: $$A(m) = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{2}{m} \right) (2 - m)$$ Multiplicamos los términos: $$A(m) = \frac{1}{2} \left( 2 - m - \frac{4}{m} + 2 \right) = \frac{1}{2} \left( 4 - m - \frac{4}{m} \right)$$ Simplificando la expresión: $$A(m) = 2 - \frac{m}{2} - \frac{2}{m}$$

Para hallar el mínimo, derivamos $A(m)$ e igualamos a cero: $$A'(m) = \frac{d}{dm} \left( 2 - \frac{m}{2} - 2m^{-1} \right) = -\frac{1}{2} + \frac{2}{m^2}$$ Igualamos a cero: $$-\frac{1}{2} + \frac{2}{m^2} = 0 \implies \frac{2}{m^2} = \frac{1}{2} \implies m^2 = 4 \implies m = \pm 2$$ Como hemos establecido que la pendiente debe ser negativa para formar el triángulo en el primer cuadrante, tomamos: $$\boxed{m = -2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $\frac{1}{x}$ es $-\frac{1}{x^2}$.

Calculamos la segunda derivada para confirmar la naturaleza del punto crítico: $$A''(m) = \frac{d}{dm} \left( -\frac{1}{2} + 2m^{-2} \right) = -4m^{-3} = -\frac{4}{m^3}$$ Evaluamos en $m = -2$: $$A''(-2) = -\frac{4}{(-2)^3} = -\frac{4}{-8} = \frac{1}{2} \gt 0$$ Como $A''(-2) \gt 0$, existe un **mínimo relativo** en $m = -2$. También podemos ver el signo de la derivada en el dominio $m \in (-\infty, 0)$: $$ \begin{array}{c|ccc} m & (-\infty,-2) & -2 & (-2,0)\\ \hline A'(m) & - & 0 & + \end{array} $$ La función decrece y luego crece, confirmando el mínimo.

**Ecuación de la recta:** Sustituimos $m = -2$ en la ecuación punto-pendiente: $$y - 2 = -2(x - 1) \implies y = -2x + 2 + 2 \implies y = -2x + 4$$ O en forma general: $$\boxed{2x + y - 4 = 0}$$ **Cálculo del área mínima:** Sustituimos $m = -2$ en la función $A(m)$: $$A(-2) = 2 - \frac{-2}{2} - \frac{2}{-2} = 2 + 1 + 1 = 4$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Recta: } y = -2x + 4, \quad \text{Área mínima: } 4 \text{ u}^2}$$